На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Обозначим события:

• \( D \) – тарелка имеет дефект.
• \( K \) – тарелка прошла контроль качества (т.е. не была выявлена как дефектная).
• \( P \) – тарелка поступает в продажу.

Из условия нам известно:

• Вероятность того, что тарелка имеет дефект: \( P(D) = 0.30 \).
• Вероятность того, что тарелка не имеет дефекта: \( P(D^c) = 1 - P(D) = 1 - 0.30 = 0.70 \).
• Вероятность выявления дефектной тарелки при контроле: \( P(K|D) = 0.90 \).
• Вероятность того, что дефектная тарелка не будет выявлена (т.е. поступит в продажу): \( P(K^c|D) = 1 - P(K|D) = 1 - 0.90 = 0.10 \).
• Вероятность, что не дефектная тарелка будет выявлена (не поступет в продажу): \( P(K^c|D^c) = 0 \) (предполагаем, что контроль качества идеально выявляет не дефектные тарелки, или что мы ищем вероятность того, что тарелка НЕ ИМЕЕТ ДЕФЕКТОВ, а не то, что она прошла контроль).
• Вероятность, что не дефектная тарелка пройдет контроль (не будет выявлена как дефектная, но таковой не является): \( P(K|D^c) = 1 \).

Тарелка поступает в продажу, если она либо не дефектная и прошла контроль, либо дефектная, но контроль ее не выявил.

Событие \( P \) (тарелка поступает в продажу) является объединением двух несовместных событий:

1. Тарелка не дефектная И прошла контроль: \( D^c \text{ и } K \)
2. Тарелка дефектная И НЕ прошла контроль: \( D \text{ и } K^c \)

Вероятность первого события: \( P(D^c \text{ и } K) = P(K|D^c) \times P(D^c) = 1 \times 0.70 = 0.70 \).

Вероятность второго события: \( P(D \text{ и } K^c) = P(K^c|D) \times P(D) = 0.10 \times 0.30 = 0.03 \).

Вероятность того, что тарелка поступит в продажу: \( P(P) = P(D^c \text{ и } K) + P(D \text{ и } K^c) = 0.70 + 0.03 = 0.73 \).

Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная ПРИ ПОКУПКЕ тарелка не имеет дефектов. Это значит, что мы ищем вероятность события \( D^c \) при условии, что тарелка поступила в продажу (событие \( P \)).

Искомая вероятность: \( P(D^c|P) = \frac{P(D^c \text{ и } P)}{P(P)} \).

Событие \( D^c \text{ и } P \) означает, что тарелка не дефектная И поступила в продажу. Как мы рассчитали ранее, это вероятность \( P(D^c \text{ и } K) \), так как не дефектная тарелка всегда поступает в продажу (проходит контроль).

\( P(D^c \text{ и } P) = P(D^c \text{ и } K) = 0.70 \).

Теперь вычисляем искомую условную вероятность:

\[ P(D^c|P) = \frac{0.70}{0.73} \]\[ P(D^c|P) 0.9589 \]

Округляем до сотых:

Ответ: 0.96