На фабрике керамической посуды 25% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества выявляется 40% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Обозначим:

• \( A \) — событие, что тарелка имеет дефект.
• \( \overline{A} \) — событие, что тарелка не имеет дефекта.
• \( P(A) = 0.25 \) — вероятность того, что тарелка имеет дефект (по условию).
• \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75 \) — вероятность того, что тарелка не имеет дефекта.
• \( P(defect | A) = 0.40 \) — вероятность выявления дефекта при контроле, если тарелка действительно дефектная.
• \( P(defect | \overline{A}) = 0 \) — вероятность выявления дефекта при контроле, если тарелка не дефектная (по условию, все не дефектные тарелки поступают в продажу).

Нас интересует вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Это означает, что тарелка прошла контроль качества и не была отбракована как дефектная.

Пусть \( D \) — событие, что тарелка выявлена как дефектная при контроле.

Вероятность того, что тарелка будет выявлена как дефектная, можно найти по формуле полной вероятности:

\[ P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|\overline{A})P(\overline{A}) \]

По условию, 40% дефектных тарелок выявляется. Это означает, что если тарелка имеет дефект, то вероятность того, что её выявят как дефектную, равна 0.40. Следовательно, вероятность того, что тарелка с дефектом НЕ будет выявлена (то есть пройдёт контроль), равна \( 1 - 0.40 = 0.60 \).

Если тарелка не имеет дефекта (событие \(\overline{A}\)), то она точно не будет выявлена как дефектная, то есть \( P(D|\overline{A}) = 0 \). Все такие тарелки поступают в продажу.

По условию, \( P(A) = 0.25 \) и \( P(\overline{A}) = 0.75 \).

Вероятность того, что тарелка, имеющая дефект, будет выявлена как дефектная, равна \( P(D \text{ and } A) = P(D|A)P(A) = 0.40 \times 0.25 = 0.10 \).

Вероятность того, что тарелка, не имеющая дефекта, будет выявлена как дефектная, равна \( P(D \text{ and } \overline{A}) = P(D|\overline{A})P(\overline{A}) = 0 \times 0.75 = 0 \).

Общая вероятность того, что тарелка будет выявлена как дефектная, равна \( P(D) = 0.10 + 0 = 0.10 \).

Вероятность того, что тарелка НЕ будет выявлена как дефектная (то есть пройдёт контроль), равна \( P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.10 = 0.90 \).

Теперь нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, при условии, что она была куплена (то есть прошла контроль). Это условная вероятность:

\[ P(\overline{A} | \overline{D}) = \frac{P(\overline{A} \text{ and } \overline{D})}{P(\overline{D})} \]

Вероятность того, что тарелка не имеет дефектов И не была выявлена как дефектная, равна вероятности того, что тарелка не имеет дефектов, так как все тарелки без дефектов не выявляются как дефектные: \( P(\overline{A} \text{ and } \overline{D}) = P(\overline{A}) = 0.75 \).

Теперь подставим значения:

\[ P(\overline{A} | \overline{D}) = \frac{0.75}{0.90} \]

Вычислим значение:

\[ \frac{0.75}{0.90} = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \]

Переведём в десятичную дробь и округлим до сотых:

\[ \frac{5}{6} \approx 0.8333... \]

Округляем до сотых:

\[ 0.83 \]

Ответ: 0.83