3. На доске написаны две различные ненулевые цифры. Таня просуммировала все возможные трехзначные числа, не содержащие никакие другие цифры, кроме двух написанных, и получила 1776. Найдите две цифры, которые были написаны на доске.

Пусть a и b — две различные ненулевые цифры, записанные на доске. Тогда можно составить следующие три трехзначных числа, используя только эти цифры:

• ааа
• ааb
• аbа
• аbb
• bаа
• bаb
• bbа
• bbb

Запишем эти числа в виде суммы разрядных слагаемых:

• ааа = 100а + 10а + а = 111а
• ааb = 100а + 10а + b = 110а + b
• аbа = 100а + 10b + а = 101а + 10b
• аbb = 100а + 10b + b = 100а + 11b
• bаа = 100b + 10а + а = 100b + 11а
• bаb = 100b + 10а + b = 101b + 10а
• bbа = 100b + 10b + а = 110b + а
• bbb = 100b + 10b + b = 111b

Сумма всех чисел равна:

111а + 110а + b + 101а + 10b + 100а + 11b + 100b + 11а + 101b + 10а + 110b + а + 111b = 1776

Сгруппируем слагаемые с а и b:

(111 + 110 + 101 + 100 + 11 + 10 + 1)а + (1 + 10 + 11 + 100 + 101 + 110 + 111)b = 1776

444а + 444b = 1776

Вынесем общий множитель:

444(а + b) = 1776

Разделим обе части уравнения на 444:

а + b = 1776 : 444

а + b = 4

Так как a и b — различные ненулевые цифры, то возможны только следующие варианты:

• а = 1, b = 3
• а = 3, b = 1

Значит, на доске были написаны цифры 1 и 3.

Ответ: 1 и 3