13. На доске написано число. Олег играет в арифметическую игру: он может либо стереть последнюю цифру написанного числа, либо прибавить к написанному числу число 2018 и записать полученный результат, стерев предыдущее число. Может ли Олег, действуя таким образом, в конце концов получить число 1? Если да, покажите как; если нет, объясните почему. Решение: Ответ:

Данная задача решается с помощью анализа делимости. Заметим, что обе операции (удаление последней цифры и прибавление 2018) сохраняют остаток от деления числа на 9. Исходное число сравнимо с 2+0+1+8 = 11 ≡ 2 (mod 9). Значит, любое число, которое может получить Олег, должно давать остаток 2 при делении на 9. Но число 1 не удовлетворяет этому условию (1 не сравнимо с 2 (mod 9)).

Следовательно, Олег не может получить число 1.

Ответ: нет, не может.