На доске написано число 4. Раз в минуту можно выбрать число x, записанное на доске, и записать числа x² и x − 3. Какие из следующих чисел могут оказаться на доске через некоторое время? 10, 20, 75, 133.

При переходе к числу \(x^2\) или \(x-3\) остаток по модулю 3 сохраняется равным 1: исходное число \(4\equiv1\pmod 3\), а \(1^2\equiv1\pmod 3\) и \(1-3\equiv1\pmod 3\).

Поэтому числа, сравнимые с 0 или 2 по модулю 3, появиться не могут:

• \(20\equiv2\pmod 3\) — не может появиться;
• \(75\equiv0\pmod 3\) — не может появиться.

Число 10 можно получить так: \(4\to16\to13\to10\).

Число 133 также можно получить: \(4\to16\to13\to169\), затем 11 раз применять действие \(x\to x-3\): \(169\to136\to133\).

Ответ: 10 и 133.