На доске написано число 4. Раз в минуту можно выбрать число x, написанное на доске, и записать числа x² и x−3. Какие из следующих чисел могут оказаться на доске через некоторое время? 10, 20, 75, 133.

Из числа 4 можно получать новые числа, возводя выбранное число в квадрат и уменьшая его на 3.

1. 10: получаем 16 = 4², затем несколько раз вычитаем 3: 16 → 13 → 10.
2. 20: 16 → 13 → 10 → 7 → 4 → 1 → 25 = 5², затем 25 → 22 → 20.
3. 75: получаем 16, затем 16 → 13 → 10 → 7, затем 49 = 7², 49 → 46 → 43 → 40 → 37 → 34 → 31 → 28 → 25 → 22 → 19 → 16 → 13 → 10 → 7 → 4 → 1; проще: из 16 получаем 9, затем 81 = 9² и 81 − 3 − 3 = 75.
4. 133: из 16 получаем 12, затем 144 = 12² и 144 → 141 → 138 → 135 → 132; чтобы получить 133, сначала из 16 получаем 13, затем 169 = 13² и 169 − 3 · 12 = 133.

Следовательно, каждое из предложенных чисел достижимо.

Ответ: 10, 20, 75, 133.