Контрольные задания > На доске написано число 1. За один ход можно взять любое число x, имеющееся на доске, и записать на доску одно из чисел 4x + 1 или x + 12. Найдите наибольшее число, не превосходящее 500, которое может быть записано на доске.
Вопрос:

На доске написано число 1. За один ход можно взять любое число x, имеющееся на доске, и записать на доску одно из чисел 4x + 1 или x + 12. Найдите наибольшее число, не превосходящее 500, которое может быть записано на доске.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание № 4

Начнём с числа 1. Нам нужно найти самое большое число, которое можно получить, следуя правилам, и которое не превышает 500.

Шаг 1: Изучаем правила

У нас есть два правила для получения новых чисел:

  • Правило 1: 4x + 1
  • Правило 2: x + 12

Начинаем с числа 1.

Шаг 2: Первые шахи

Из числа 1 мы можем получить:

  • По правилу 1: 4 * 1 + 1 = 5
  • По правилу 2: 1 + 12 = 13

Теперь у нас на доске есть числа 1, 5, 13.

Шаг 3: Стратегия для максимального числа

Чтобы получить как можно большее число, нам нужно использовать правило, которое даёт наибольший прирост. Сравним оба правила:

  • Правило 1 (4x + 1) умножает число на 4.
  • Правило 2 (x + 12) прибавляет 12.

Очевидно, что умножение на 4 даёт гораздо больший прирост, чем прибавление 12, особенно когда числа уже достаточно большие. Поэтому мы будем стараться использовать правило 4x + 1 как можно чаще.

Шаг 4: Последовательное применение правила 4x + 1

Продолжим применять правило 4x + 1, чтобы увидеть, как быстро растут числа:

  • Стартовое число: 1
  • Ход 1: 4 * 1 + 1 = 5
  • Ход 2: 4 * 5 + 1 = 21
  • Ход 3: 4 * 21 + 1 = 85
  • Ход 4: 4 * 85 + 1 = 341
  • Ход 5: 4 * 341 + 1 = 1364

Мы видим, что после 4 ходов мы получили число 341. Если мы применим правило ещё раз, то получим 1364, что уже больше 500.

Шаг 5: Проверка комбинаций с правилом x + 12

Теперь нам нужно проверить, можем ли мы получить число больше 341, используя правило x + 12 на каком-то этапе, чтобы остаться в пределах 500.

Давайте посмотрим, что можно получить из 341:

  • 341 + 12 = 353. Это число меньше 500.

А что если применить правило x + 12 раньше? Например, после получения 85:

  • Число: 85
  • Применяем x + 12: 85 + 12 = 97
  • Теперь применяем 4x + 1 к 97: 4 * 97 + 1 = 388 + 1 = 389.

389 — это больше, чем 341.

Давайте проверим, что будет, если мы будем чаще использовать +12. Попробуем идти с конца, от 500. Какие числа могут привести к числу, меньшему или равному 500?

Рассмотрим, какие числа могут дать результат меньше или равный 500:

  • Если последнее действие было 4x + 1, то 4x + 1 ≤ 500 => 4x ≤ 499 => x ≤ 124.75. Наибольшее целое x — 124.
  • Если последнее действие было x + 12, то x + 12 ≤ 500 => x ≤ 488.

Теперь посмотрим, можем ли мы получить 124 или 488, следуя правилам.

Давайте построим дерево возможных чисел, фокусируясь на наибольших:

  • 1
  • (1 + 12) = 13
  • (4 * 1 + 1) = 5
  • (5 + 12) = 17
  • (13 + 12) = 25
  • (4 * 5 + 1) = 21
  • (4 * 13 + 1) = 53
  • (4 * 17 + 1) = 69
  • (53 + 12) = 65
  • (21 + 12) = 33
  • (4 * 21 + 1) = 85
  • (4 * 25 + 1) = 101
  • (85 + 12) = 97
  • (101 + 12) = 113
  • (4 * 85 + 1) = 341
  • (4 * 101 + 1) = 405
  • (341 + 12) = 353
  • (405 + 12) = 417
  • (4 * 341 + 1) = 1365 (больше 500)
  • (4 * 405 + 1) = 1621 (больше 500)

Из этого дерева видно, что наибольшее число, полученное только с помощью 4x+1, это 341.

Однако, мы нашли комбинацию, которая дала большее число: 389 (через 85 -> 97 -> 389).

Давайте проверим числа, которые могут привести к 389:

  • Число 389 получено из 97 по правилу 4x+1 (4*97+1 = 389).
  • Число 97 было получено из 85 по правилу x+12 (85+12 = 97).
  • Число 85 было получено из 21 по правилу 4x+1 (4*21+1 = 85).
  • Число 21 было получено из 5 по правилу 4x+1 (4*5+1 = 21).
  • Число 5 было получено из 1 по правилу 4x+1 (4*1+1 = 5).

Эта последовательность: 1 -> 5 -> 21 -> 85 -> 97 -> 389. Все числа меньше 500.

Можем ли мы получить больше? Попробуем другие пути.

Что если применить x + 12 к 341?

  • 341 + 12 = 353. (Меньше, чем 389).

Что если применить 4x + 1 к 113?

  • 4 * 113 + 1 = 452 + 1 = 453.

Получили 453. Это больше, чем 389.

Проверим, как получили 113:

  • 113 могло быть получено из 101 (101 + 12 = 113).
  • 101 было получено из 25 (4 * 25 + 1 = 101).
  • 25 было получено из 13 (13 + 12 = 25).
  • 13 было получено из 1 (1 + 12 = 13).

Последовательность: 1 -> 13 -> 25 -> 101 -> 113 -> 453. Все числа меньше 500.

Можем ли мы из 453 получить что-то ещё? Используем правило x + 12:

  • 453 + 12 = 465.

465 — это больше, чем 453. Проверим, что будет, если мы из 465 попробуем применить 4x+1. Это будет 4 * 465 + 1, что явно больше 500.

Таким образом, 465 — это самое большое число, которое мы смогли получить, не превышая 500.

Шаг 6: Проверка последней комбинации

Последовательность для 465:

  1. Старт: 1
  2. 1 + 12 = 13
  3. 13 + 12 = 25
  4. 4 * 25 + 1 = 101
  5. 101 + 12 = 113
  6. 4 * 113 + 1 = 453
  7. 453 + 12 = 465

Все эти числа меньше или равны 500. Следующий ход (4 * 465 + 1) будет больше 500.

Другая последовательность, которая давала 453:

  1. Старт: 1
  2. 4 * 1 + 1 = 5
  3. 4 * 5 + 1 = 21
  4. 4 * 21 + 1 = 85
  5. 85 + 12 = 97
  6. 4 * 97 + 1 = 389
  7. 389 + 12 = 401

401 меньше, чем 465.

Рассмотрим еще один вариант: 4 * 85 + 1 = 341. Затем 341 + 12 = 353. Меньше.

Попробуем получить число, которое при умножении на 4 даст что-то близкое к 500:

Если x = 124, то 4 * 124 + 1 = 497. Можем ли мы получить 124?

Попробуем получить 124:

  • 1 + 12 = 13
  • 13 + 12 = 25
  • 25 + 12 = 37
  • 37 + 12 = 49
  • 49 + 12 = 61
  • 61 + 12 = 73
  • 73 + 12 = 85
  • 85 + 12 = 97
  • 97 + 12 = 109
  • 109 + 12 = 121
  • 121 + 12 = 133 (слишком много)

Используя только +12, мы не можем получить 124. Используя комбинации, например, 4*21+1 = 85, 85+12=97, 97+12=109, 109+12=121. Из 121 мы не можем получить 124.

Вернемся к 465. Эта последовательность кажется оптимальной.

1 -> 13 -> 25 -> 101 -> 113 -> 453 -> 465.

Все шаги:

  1. 1
  2. 1 + 12 = 13
  3. 13 + 12 = 25
  4. 4 * 25 + 1 = 101
  5. 101 + 12 = 113
  6. 4 * 113 + 1 = 453
  7. 453 + 12 = 465

Следующий шаг: 4 * 465 + 1 = 1860 + 1 = 1861 (больше 500). Или 465 + 12 = 477. Если мы хотим максимально большое число, то 465 — это результат, а следующий шаг может быть 477.

Теперь рассмотрим 477.

  • 477 < 500.
  • Следующий шаг: 4 * 477 + 1 = 1908 + 1 = 1909 (больше 500).
  • Или 477 + 12 = 489.

489 < 500. Следующий шаг: 4 * 489 + 1 = 1956 + 1 = 1957 (больше 500). Или 489 + 12 = 501 (больше 500).

Значит, 489 — это последнее число, которое мы можем получить, оставаясь в пределах 500.

Проверим последовательность для 489:

  1. 1
  2. 1 + 12 = 13
  3. 13 + 12 = 25
  4. 4 * 25 + 1 = 101
  5. 101 + 12 = 113
  6. 4 * 113 + 1 = 453
  7. 453 + 12 = 465
  8. 465 + 12 = 477
  9. 477 + 12 = 489

Эта последовательность приводит к 489. Она выглядит как самая длинная последовательность прибавления 12.

Что если попробовать комбинацию с умножением на 4 в конце?

Нам нужно число x такое, что 4x + 1 ≤ 500, значит x ≤ 124.75. Максимальное x = 124.

Можем ли мы получить 124?

1 -> 13 -> 25 -> 101. Из 101 мы можем получить 101 + 12 = 113. Далее 113 + 12 = 125. Не 124.

Можем ли мы получить 124 через умножение?

Например, 4 * x + 1 = 124? 4x = 123. x = 123/4 (не целое).

x + 12 = 124? x = 112. Можем ли мы получить 112?

1 -> 13 -> 25 -> 101. 101 + 12 = 113. Не 112.

Давайте пересмотрим путь к 489:

1 --(+12)--> 13 --(+12)--> 25 --(4*x+1)--> 101 --(+12)--> 113 --(+12)--> 125 --(+12)--> 137 --(+12)--> 149 --(+12)--> 161 --(+12)--> 173 --(+12)--> 185 --(+12)--> 197 --(+12)--> 209 --(+12)--> 221 --(+12)--> 233 --(+12)--> 245 --(+12)--> 257 --(+12)--> 269 --(+12)--> 281 --(+12)--> 293 --(+12)--> 305 --(+12)--> 317 --(+12)--> 329 --(+12)--> 341 --(+12)--> 353 --(+12)--> 365 --(+12)--> 377 --(+12)--> 389 --(+12)--> 401 --(+12)--> 413 --(+12)--> 425 --(+12)--> 437 --(+12)--> 449 --(+12)--> 461 --(+12)--> 473 --(+12)--> 485 --(+12)--> 497

497 < 500.

Следующий шаг из 497:

  • 4 * 497 + 1 = 1988 + 1 = 1989 (больше 500).
  • 497 + 12 = 509 (больше 500).

Значит, 497 — это самое большое число, которое можно получить, используя последовательность, где последнее действие — прибавление 12.

Теперь проверим, что если последнее действие — умножение на 4:

4x + 1 ≤ 500 => x ≤ 124.75. Максимальное целое x = 124.

Можем ли мы получить 124?

1 --(+12)--> 13 --(+12)--> 25 --(4*x+1)--> 101. Из 101: 101+12=113. 113+12=125. Не 124.

Что если начать с 4*1+1 = 5?

5 --(+12)--> 17 --(+12)--> 29 --(+12)--> 41 --(+12)--> 53 --(+12)--> 65 --(+12)--> 77 --(+12)--> 89 --(+12)--> 101. Опять 101.

Попробуем с 5:

5 --(4*x+1)--> 21 --(4*x+1)--> 85 --(4*x+1)--> 341. Из 341:

  • 341 + 12 = 353.

Самое большое число, которое мы получили — 497.

Итоговая проверка:

Последовательность, ведущая к 497:

  1. 1
  2. 1 + 12 = 13
  3. 13 + 12 = 25
  4. 25 + 12 = 37
  5. 37 + 12 = 49
  6. 49 + 12 = 61
  7. 61 + 12 = 73
  8. 73 + 12 = 85
  9. 85 + 12 = 97
  10. 97 + 12 = 109
  11. 109 + 12 = 121
  12. 121 + 12 = 133
  13. 133 + 12 = 145
  14. 145 + 12 = 157
  15. 157 + 12 = 169
  16. 169 + 12 = 181
  17. 181 + 12 = 193
  18. 193 + 12 = 205
  19. 205 + 12 = 217
  20. 217 + 12 = 229
  21. 229 + 12 = 241
  22. 241 + 12 = 253
  23. 253 + 12 = 265
  24. 265 + 12 = 277
  25. 277 + 12 = 289
  26. 289 + 12 = 301
  27. 301 + 12 = 313
  28. 313 + 12 = 325
  29. 325 + 12 = 337
  30. 337 + 12 = 349
  31. 349 + 12 = 361
  32. 361 + 12 = 373
  33. 373 + 12 = 385
  34. 385 + 12 = 397
  35. 397 + 12 = 409
  36. 409 + 12 = 421
  37. 421 + 12 = 433
  38. 433 + 12 = 445
  39. 445 + 12 = 457
  40. 457 + 12 = 469
  41. 469 + 12 = 481
  42. 481 + 12 = 493
  43. 493 + 12 = 505 (больше 500)

Это не тот путь.

Давайте еще раз посмотрим на пути, ведущие к числам, близким к 500. Нам нужно число x, такое что 4x+1 ≤ 500, т.е. x ≤ 124. И x+12 ≤ 500, т.е. x ≤ 488.

Попробуем достичь 124:

1 -> 5 -> 21 -> 85. Из 85: 85+12=97. 97+12=109. 109+12=121. 121+12=133.

1 -> 13 -> 25 -> 101. Из 101: 101+12=113. 113+12=125.

Можно получить 121. Если взять 121, то 4 * 121 + 1 = 484 + 1 = 485.

485 < 500. Следующий шаг: 485 + 12 = 497.

497 < 500. Следующий шаг: 4 * 497 + 1 = 1989 (больше 500). Или 497 + 12 = 509 (больше 500).

Значит, 497 — это максимум, который мы можем получить, если последнее действие — прибавление 12.

Если последнее действие — умножение на 4:

4x + 1 = 497? 4x = 496. x = 124.

Можем ли мы получить 124?

1 --(+12)--> 13 --(+12)--> 25 --(4*x+1)--> 101. 101+12=113. 113+12=125. Не 124.

1 --(4*x+1)--> 5 --(4*x+1)--> 21 --(4*x+1)--> 85. 85+12=97. 97+12=109. 109+12=121. 121+12=133.

Похоже, что 497 — это действительно самое большое число.

Ответ: 497

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю