Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
На дифракционную решетку, имеющую период d = 1,2 • 10-3 см, падает по нормали монохроматическая волна. Оцените длину волны λ, если угол между спектрами второго и третьего порядков Δφ = 2°30'.
Ответ:
Краткое пояснение: Используем формулу дифракционной решетки для нахождения длины волны, учитывая разницу углов для второго и третьего порядков спектра.
-
Шаг 1: Записываем условие задачи
- Период дифракционной решетки: d = 1.2 * 10⁻³ см = 1.2 * 10⁻⁵ м
- Угол между спектрами второго и третьего порядков: Δφ = 2°30' = 2.5°
- Порядок спектра: k₂ = 2, k₃ = 3
-
Шаг 2: Формула дифракционной решетки
Условие максимума для дифракционной решетки:
\[ d \cdot sin(φ) = k \cdot λ \]где:
- d - период решетки,
- φ - угол отклонения,
- k - порядок спектра,
- λ - длина волны.
-
Шаг 3: Уравнения для второго и третьего порядков
Для второго порядка:
\[ d \cdot sin(φ₂) = 2 \cdot λ \]Для третьего порядка:
\[ d \cdot sin(φ₃) = 3 \cdot λ \] -
Шаг 4: Находим разность углов
Угол Δφ между спектрами второго и третьего порядков:
\[ Δφ = φ₃ - φ₂ \] \[ φ₃ = φ₂ + Δφ \] -
Шаг 5: Выражаем sin(φ₃)
\[ sin(φ₃) = sin(φ₂ + Δφ) \] -
Шаг 6: Подставляем sin(φ₃) в уравнение для третьего порядка
\[ d \cdot sin(φ₂ + Δφ) = 3 \cdot λ \] -
Шаг 7: Выражаем sin(φ₂) из уравнения для второго порядка
\[ sin(φ₂) = \frac{2λ}{d} \] -
Шаг 8: Используем тригонометрическое тождество
Используем формулу синуса суммы:
\[ sin(φ₂ + Δφ) = sin(φ₂) \cdot cos(Δφ) + cos(φ₂) \cdot sin(Δφ) \] -
Шаг 9: Подставляем в уравнение для третьего порядка
\[ d \cdot (sin(φ₂) \cdot cos(Δφ) + cos(φ₂) \cdot sin(Δφ)) = 3 \cdot λ \] -
Шаг 10: Выражаем cos(φ₂)
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ cos(φ₂) = \sqrt{1 - sin²(φ₂)} = \sqrt{1 - (\frac{2λ}{d})²} \] -
Шаг 11: Подставляем sin(φ₂) и cos(φ₂) в уравнение
\[ d \cdot (\frac{2λ}{d} \cdot cos(Δφ) + \sqrt{1 - (\frac{2λ}{d})²} \cdot sin(Δφ)) = 3 \cdot λ \] -
Шаг 12: Решаем уравнение относительно λ
\[ 2λ \cdot cos(Δφ) + d \cdot \sqrt{1 - (\frac{2λ}{d})²} \cdot sin(Δφ) = 3λ \] \[ d \cdot \sqrt{1 - (\frac{2λ}{d})²} \cdot sin(Δφ) = λ \cdot (3 - 2 \cdot cos(Δφ)) \] \[ d² \cdot (1 - (\frac{4λ²}{d²})) \cdot sin²(Δφ) = λ² \cdot (3 - 2 \cdot cos(Δφ))² \] \[ d² \cdot sin²(Δφ) - 4λ² \cdot sin²(Δφ) = λ² \cdot (3 - 2 \cdot cos(Δφ))² \] \[ d² \cdot sin²(Δφ) = λ² \cdot ((3 - 2 \cdot cos(Δφ))² + 4 \cdot sin²(Δφ)) \] \[ λ² = \frac{d² \cdot sin²(Δφ)}{(3 - 2 \cdot cos(Δφ))² + 4 \cdot sin²(Δφ)} \] \[ λ = \frac{d \cdot sin(Δφ)}{\sqrt{(3 - 2 \cdot cos(Δφ))² + 4 \cdot sin²(Δφ)}} \] -
Шаг 13: Подставляем значения
Преобразуем угол Δφ из градусов в радианы:
\[ Δφ = 2.5° = 2.5 \cdot \frac{π}{180} ≈ 0.0436 рад \] \[ λ = \frac{1.2 \cdot 10⁻⁵ \cdot sin(2.5°)}{\sqrt{(3 - 2 \cdot cos(2.5°))² + 4 \cdot sin²(2.5°)}} \]Так как угол мал, sin(2.5°) ≈ 2.5° в радианах ≈ 0.0436, cos(2.5°) ≈ 1:
\[ λ ≈ \frac{1.2 \cdot 10⁻⁵ \cdot 0.0436}{\sqrt{(3 - 2 \cdot 1)² + 4 \cdot (0.0436)²}} \] \[ λ ≈ \frac{1.2 \cdot 10⁻⁵ \cdot 0.0436}{\sqrt{1 + 4 \cdot 0.0019}} \] \[ λ ≈ \frac{1.2 \cdot 10⁻⁵ \cdot 0.0436}{\sqrt{1.0076}} \] \[ λ ≈ \frac{1.2 \cdot 10⁻⁵ \cdot 0.0436}{1.0038} \] \[ λ ≈ 0.52 \cdot 10⁻⁶ м \] \[ λ ≈ 520 нм \]
Ответ: λ ≈ 520 нм
