На данном рисунке треугольник DBE – равнобедренный с основанием DE, LABE = ∠DBC. а) Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный. б) Найдите ∠BDE, если сумма углов BDA и BEC равна 230°.

а) Доказательство, что треугольник ABC - равнобедренный:

1. По условию, треугольник DBE равнобедренный с основанием DE, следовательно, углы при основании равны: ∠BDE = ∠BED.
2. Также дано, что ∠ABE = ∠DBC.
3. Рассмотрим углы, смежные с углами ∠ABE и ∠DBC. Пусть ∠ABC - это угол, состоящий из углов ∠ABE и ∠EBC, а ∠EBC - общий угол для ∠ABE и ∠DBC. Тогда ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC, и ∠EBC = ∠DBC + ∠EBA. Поскольку ∠ABE = ∠DBC, то ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC = ∠DBC + ∠EBC = ∠EBA. Таким образом, углы ∠ABC и ∠EBA равны.
4. Треугольник DBE равнобедренный, значит углы при основании DE равны, ∠DEB = ∠EDB. Углы ∠AEB и ∠CDB являются смежными с углами ∠DEB и ∠EDB соответственно. Смежные углы в сумме дают 180°, следовательно, ∠AEB = 180° - ∠DEB и ∠CDB = 180° - ∠EDB. Так как ∠DEB = ∠EDB, то ∠AEB = ∠CDB.
5. Рассмотрим треугольники ABE и CBD. У них: ∠ABE = ∠DBC (дано), BE = BD (DBE - равнобедренный), ∠AEB = ∠CDB (доказано). Следовательно, треугольники ABE и CBD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
6. Из равенства треугольников следует, что AB = BC.
7. Треугольник ABC, у которого две стороны равны (AB = BC), является равнобедренным.

б) Найдем ∠BDE, если сумма углов BDA и BEC равна 230°:

1. Пусть ∠BDA + ∠BEC = 230°.
2. Угол ∠BDE является внешним углом для треугольника ADE. Аналогично, угол ∠BED внешний для треугольника BDE.
3. Поскольку ∠BDE = ∠BED, обозначим их как x. Таким образом, ∠BDA = 180 - x, ∠BEC = 180 - x.
4. Сумма углов ∠BDA + ∠BEC = (180 - x) + (180 - x) = 360 - 2x.
5. По условию ∠BDA + ∠BEC = 230°, значит, 360 - 2x = 230.
6. Решим уравнение: 2x = 360 - 230, 2x = 130, x = 65.
7. ∠BDE = 65°.

Ответ: а) Треугольник ABC - равнобедренный. б) ∠BDE = 65°