На данном рисунке треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, ∠ABD = ∠CBE. а) Докажите, что треугольник DBE равнобедренный. б) Найдите LADB, если ∠BED = 70°.

a) Доказательство, что треугольник DBE равнобедренный:

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

Дано: ∠ABD = ∠CBE.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE:

AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC),

∠ABD = ∠CBE (по условию),

∠BAC = ∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).

Следовательно, треугольники ABD и CBE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BD = BE.

Таким образом, треугольник DBE равнобедренный, так как BD = BE.

б) Найдём ∠ADB, если ∠BED = 70°.

Так как треугольник DBE равнобедренный, то углы при основании DE равны: ∠BDE = ∠BED = 70°.

Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠DBE = 180° - (∠BDE + ∠BED) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

∠ABC = ∠DBE = 40°.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

∠ABD = ∠CBE = (∠ABC - ∠DBE) / 2 = (40°) / 2 = 20°.

В треугольнике ABD:

∠ADB = 180° - (∠BAD + ∠ABD) = 180° - (70° + 20°) = 180° - 90° = 90°.

Ответ: ∠ADB = 90°.