На дачном участке есть круглый пруд с центром в точке О. Хозяин участка решил проложить дорожку от дома (точки К) до пруда, которая должна касаться пруда в точке Е. Длина дорожки равна 8 метрам, а угол между радиусом пруда, проведённым в точку Е, и расстоянием КО равен 45°. Определите радиус пруда.

Дано:

• Круглый пруд с центром О.
• Дорожка от дома К до пруда, касательная к пруду в точке Е.
• КЕ = 8 м.
• ∠ОЕК = 90° (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
• ∠КОЕ = 45° (дано, но в условии ошибка, должно быть ∠ОКЕ = 45°).
• ∠ОКЕ = 45°.

Найти:

• Радиус пруда (ОЕ).

Решение:

1. Рассмотрим ∆ОЕК:
• ∆ОЕК — прямоугольный треугольник, так как ∠ОЕК = 90°.
• ∠ОКЕ = 45° (дано).
• ∠КОЕ = 180° - 90° - 45° = 45° (сумма углов в треугольнике).
• Так как ∠ОКЕ = ∠КОЕ = 45°, то ∆ОЕК — равнобедренный.
• Следовательно, стороны, лежащие против этих углов, равны: ОЕ = КЕ.
• ОЕ = 8 м.

Ответ: Радиус пруда равен 8 м.