На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите из предложенных отрезков такой отрезок А, что логическое выражение ((x∈P)→(x∈Q))→(x∉A) тождественно истинно.

Решение:

Логическое выражение \( \alpha \to \beta \) истинно, когда \( \alpha \) ложно или \( \beta \) истинно. В данном случае \( \alpha \) — это \( (x \in P) \to (x \in Q) \) и \( \beta \) — это \( x \notin A \).

Рассмотрим первую часть выражения: \( (x \in P) \to (x \in Q) \). Это выражение ложно только тогда, когда \( x \in P \) истинно, а \( x \in Q \) ложно. Это происходит на отрезке \( P \setminus Q \).

Найдём \( P \setminus Q \): \( P = [2, 42] \), \( Q = [22, 62] \).

\( P \setminus Q = [2, 42] \setminus [22, 62] = [2, 22) \).

Таким образом, выражение \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно для \( x \in [2, 22) \) и истинно для \( x \in [22, 42] \) (где \( x \in P \) и \( x \in Q \)) и для \( x \notin P \) (т.е. \( x < 2 \) или \( x > 42 \)).

Теперь рассмотрим всё выражение: \( ((x \in P) \to (x \in Q)) \to (x \notin A) \). Чтобы оно было тождественно истинно, нам нужно, чтобы условие \( x \notin A \) было истинно, когда \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно. То есть, когда \( x \in [2, 22) \), должно выполняться \( x \notin A \).

Это означает, что отрезок \( [2, 22) \) должен быть полностью исключён из отрезка \( A \). Рассмотрим предложенные варианты:

• \( [43, 54] \): Этот отрезок не пересекается с \( [2, 22) \). Если \( A = [43, 54] \), то \( x \notin A \) будет истинно для \( x \in [2, 22) \).
• \( [3, 14] \): Этот отрезок полностью лежит внутри \( [2, 22) \). Если \( A = [3, 14] \), то для \( x \in [3, 14] \) мы имеем \( x \in P \), \( x \notin Q \) (потому что \( [3, 14] \) не пересекается с \( [22, 62] \)) и \( x \in A \). Тогда \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно, а \( x \notin A \) ложно. Ложно \( \to \) ложно = истинно. Но нам нужно, чтобы \( x \notin A \) было истинно, когда \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно.
• \( [23, 32] \): Этот отрезок не пересекается с \( [2, 22) \).
• \( [15, 45] \): Этот отрезок частично пересекается с \( [2, 22) \) (интервал \( [15, 22) \)) и пересекается с \( [22, 42] \) (интервал \( [23, 42] \)).

Сделаем проверку для \( A = [43, 54] \).

Если \( x \in [2, 22) \), то \( x \in P \) и \( x \notin Q \). Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно. Также, \( x \notin A \) истинно. Ложно \( \to \) истинно = истинно.

Если \( x \in [22, 42] \), то \( x \in P \) и \( x \in Q \). Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) истинно. Также, \( x \notin A \) истинно. Истинно \( \to \) истинно = истинно.

Если \( x \notin [2, 42] \), то \( x \notin P \). Тогда \( (x \in P) \to (x \in Q) \) истинно (посылка ложна). Также, \( x \notin A \) истинно. Истинно \( \to \) истинно = истинно.

Таким образом, отрезок \( [43, 54] \) подходит.

Проверим \( A = [3, 14] \).

Для \( x = 10 \): \( x \in P \) \(10\in[2,42]\) истинно, \( x \in Q \) \(10\in[22,62]\) ложно. Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно. \( x \in A \) \(10\in[3,14]\) истинно, значит \( x \notin A \) ложно. Ложно \( \to \) ложно = истинно.

Для \( x = 30 \): \( x \in P \) \(30\in[2,42]\) истинно, \( x \in Q \) \(30\in[22,62]\) истинно. Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) истинно. \( x \notin A \) \(30\notin[3,14]\) истинно. Истинно \( \to \) истинно = истинно.

Для \( x = 40 \): \( x \in P \) \(40\in[2,42]\) истинно, \( x \in Q \) \(40\in[22,62]\) истинно. Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) истинно. \( x \notin A \) \(40\notin[3,14]\) истинно. Истинно \( \to \) истинно = истинно.

Для \( x = 2 \): \( x \in P \) \(2\in[2,42]\) истинно, \( x \in Q \) \(2\in[22,62]\) ложно. Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно. \( x \notin A \) \(2\notin[3,14]\) истинно. Ложно \( \to \) истинно = истинно.

Для \( x = 20 \): \( x \in P \) \(20\in[2,42]\) истинно, \( x \in Q \) \(20\in[22,62]\) ложно. Значит, \( (x \in P) \to (x \in Q) \) ложно. \( x \notin A \) \(20\notin[3,14]\) истинно. Ложно \( \to \) истинно = истинно.

Похоже, я ошибся в рассуждениях. Переосмыслим. Выражение \( \alpha \to \beta \) тождественно истинно, если \( \beta \) истинно всегда, когда \( \alpha \) ложно. Или \( \beta \) истинно всегда. Или \( \alpha \) ложно всегда.

\( \alpha = (x \in P) \to (x \in Q) \). \( \beta = x \notin A \).

\( \alpha \) ложно, когда \( x \in P \) и \( x \notin Q \). То есть \( x \in [2, 42] \) и \( x \notin [22, 62] \). Это \( x \in [2, 22) \).

Если \( x \in [2, 22) \), то \( \alpha \) ложно. Для тождественной истинности всего выражения, \( \beta \) должно быть истинно, то есть \( x \notin A \) должно быть истинно. Это значит, что \( [2, 22) \) не должно пересекаться с \( A \).

Рассмотрим варианты:

• \( A = [43, 54] \): \( [2, 22) \) \(\) \( [43, 54] = \emptyset \). Этот вариант подходит.
• \( A = [3, 14] \): \( [2, 22) \) \(\) \( [3, 14] = [3, 14) \) \(\neq \emptyset \). Этот вариант не подходит.
• \( A = [23, 32] \): \( [2, 22) \) \(\) \( [23, 32] = \emptyset \). Этот вариант подходит.
• \( A = [15, 45] \): \( [2, 22) \) \(\) \( [15, 45] = [15, 22) \) \(\neq \emptyset \). Этот вариант не подходит.

Теперь рассмотрим случай, когда \( \alpha \) истинно. \( \alpha \) истинно, когда \( x \notin [2, 22) \).

Если \( \alpha \) истинно, то \( \alpha \to \beta \) будет истинно независимо от \( \beta \). Значит, нам достаточно, чтобы \( \alpha \) было истинно для тех \( x \), для которых \( \beta \) ложно.

В данном случае, нам нужно, чтобы \( x \notin A \) было истинно, когда \( \alpha \) ложно. Это уже проверено: \( A \) не должно пересекаться с \( [2, 22) \).

Однако, если \( \beta \) ложно, то \( \alpha \) должно быть ложно. \( \beta = x \notin A \) ложно, когда \( x \in A \).

Итак, если \( x \in A \), то \( \alpha \) должно быть ложно. \( \alpha \) ложно, когда \( x \in [2, 22) \). Значит, \( A \) должно быть подмножеством \( [2, 22) \).

Итак, нам нужны два условия:

1. \( A \) не пересекается с \( [2, 22) \).
2. \( A \) является подмножеством \( [2, 22) \).

Это противоречие. Значит, я не совсем правильно понял задачу.

Переформулируем: \( ((x \in P) \to (x \in Q)) \to (x \notin A) \) должно быть истинно для всех \( x \).

Это эквивалентно \( \neg ((x \in P) \to (x \in Q)) \lor (x \notin A) \).

Эквивалентно \( ( (x \in P) \land \neg (x \in Q)) \lor (x \notin A) \).

Эквивалентно \( ( (x \in P) \land (x \notin Q)) \lor (x \notin A) \).

Эквивалентно \( ( x \in P \setminus Q ) \lor ( x \notin A ) \).

Мы знаем, что \( P \setminus Q = [2, 22) \).

Значит, выражение \( (x \in [2, 22)) \lor (x \notin A) \) должно быть истинно для всех \( x \).

Рассмотрим варианты для \( A \):

• \( A = [43, 54] \): \( x \notin A \) истинно для \( x \in [2, 22) \). Значит, \( (x \in [2, 22)) \lor (x \notin A) \) истинно, так как \( x \notin A \) истинно.
• \( A = [3, 14] \): \( x \notin A \) ложно для \( x \in [3, 14] \). Возьмем \( x = 10 \). \( x \in [2, 22) \) истинно, \( x \notin A \) ложно. Истинно \( \lor \) ложно = истинно. Возьмем \( x = 40 \). \( x \in [2, 22) \) ложно. \( x \notin A \) \(40 \notin [3, 14]\) истинно. Ложно \( \lor \) истинно = истинно.
• \( A = [23, 32] \): \( x \notin A \) истинно для \( x \in [2, 22) \). Значит, \( (x \in [2, 22)) \lor (x \notin A) \) истинно, так как \( x \notin A \) истинно.
• \( A = [15, 45] \): \( x \notin A \) ложно для \( x \in [15, 45] \). Возьмем \( x = 20 \). \( x \in [2, 22) \) истинно. \( x \notin A \) \(20 \notin [15, 45]\) истинно. Истинно \( \lor \) истинно = истинно.

Теперь нужно выбрать такой \( A \), чтобы \( (x \in [2, 22)) \lor (x \notin A) \) было истинно для всех \( x \).

Рассмотрим случай, когда \( x \in [2, 22) \) ложно. Это значит \( x \notin [2, 22) \). В этом случае \( (x \in [2, 22)) \lor (x \notin A) \) равно \( \text{false} \lor (x \notin A) \), что равно \( x \notin A \). Значит, для всех \( x \notin [2, 22) \), должно быть истинно \( x \notin A \).

Это означает, что \( A \) не должно содержать ни одного числа, которое не входит в \( [2, 22) \). То есть, \( A \) должно быть подмножеством \( [2, 22) \).

Теперь рассмотрим случай, когда \( x \in [2, 22) \) истинно. Тогда \( (x \in [2, 22)) \lor (x \notin A) \) равно \( \text{true} \lor (x \notin A) \), что всегда истинно, независимо от \( x \notin A \).

Итак, единственное условие, которое мы получили, это \( A \) должно быть подмножеством \( [2, 22) \).

Проверим варианты:

• \( A = [43, 54] \): Не является подмножеством \( [2, 22) \).
• \( A = [3, 14] \): Является подмножеством \( [2, 22) \).
• \( A = [23, 32] \): Не является подмножеством \( [2, 22) \).
• \( A = [15, 45] \): Не является подмножеством \( [2, 22) \).

Следовательно, правильный ответ — \( [3, 14] \).

Ответ: [3, 14]