4. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Е и F такие, что АЕ = CF. Докажите, что ZACE = ∠CAF.

Для доказательства равенства углов ∠ACE и ∠CAF рассмотрим треугольники AEC и CFA.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC.
2. По условию AE = CF.
3. Тогда BE = AB - AE и AF = BC - CF. Следовательно, BE = AF.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.
5. Рассмотрим треугольники AEC и CFA:

      A
     / \
    /   \
   E-----F
  /       \
 B-----------C

1. AE = CF (по условию).
2. AC - общая сторона.
3. ∠EAC = ∠FCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).
4. Следовательно, треугольники AEC и CFA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠ACE = ∠CAF.

Ответ: Доказано, что ∠ACE = ∠CAF.