На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяли точки M, K и E так, что BK = KM = ME = EA = AC. Найдите угол этого треугольника, лежащий против основания.

Пусть ∠BAC = ∠BCA = α. Тогда ∠ABC = 180° - 2α.

Так как BK = KM, то треугольник BKM – равнобедренный, и ∠MBK = ∠BMK. Но ∠MBK = ∠ABC = 180° - 2α, следовательно, ∠BMK = 180° - 2α.

Тогда ∠BKM = 180° - 2 * (180° - 2α) = 4α - 180°.

Так как KM = ME, то треугольник KME – равнобедренный, и ∠MKE = ∠MEK. Тогда ∠KME = 180° - 2 * ∠MKE.

∠KME + ∠BMK = 180°, следовательно, ∠KME = 180° - ∠BMK = 180° - (180° - 2α) = 2α.

Тогда 2α = 180° - 2 * ∠MKE, откуда ∠MKE = (180° - 2α) / 2 = 90° - α.

Так как ME = EA, то треугольник MEA – равнобедренный, и ∠EMA = ∠MAE. Значит, ∠MEA = 180° - 2 * ∠MAE.

∠MEA + ∠MEK = 180°, следовательно, ∠MEA = 180° - ∠MEK = 180° - (90° - α) = 90° + α.

Тогда 90° + α = 180° - 2 * ∠MAE, откуда ∠MAE = (180° - (90° + α)) / 2 = (90° - α) / 2 = 45° - α/2.

∠BAC = ∠MAE + ∠EAK = α, следовательно, α = 45° - α/2 + ∠EAK.

Значит, ∠EAK = α - (45° - α/2) = α/2 - 45°.

Так как EA = AC, то треугольник EAC – равнобедренный, и ∠AEC = ∠ACE. Тогда ∠EAC = 180° - 2 * ∠ACE. Но ∠ACE = ∠BCA = α, следовательно, ∠EAC = 180° - 2α.

∠EAC = ∠EAK + ∠KAC = 180° - 2α, следовательно, α/2 - 45° + ∠KAC = 180° - 2α.

Отсюда ∠KAC = 180° - 2α - (α/2 - 45°) = 225° - 5α/2.

Но ∠BAC = ∠BAK + ∠KAC = α, следовательно, ∠BAK + 225° - 5α/2 = α.

Значит, ∠BAK = α - 225° + 5α/2 = 7α/2 - 225°.

Так как BK = AC, и AC = EA = ME = KM = BK, то AC = BK.

В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Тогда α + (180° - 2α) + α = 180°, что верно для любого α.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть угол при вершине B равен β. Тогда углы при основании равны (180 - β)/2.

Пусть BK = KM = ME = EA = AC = x. Тогда AB = BC = 4x.

Применим теорему синусов: AC / sin(β) = BC / sin(∠BAC), x / sin(β) = 4x / sin((180 - β)/2), sin((180 - β)/2) = 4sin(β).

sin(90 - β/2) = 4sin(β), cos(β/2) = 4 * 2sin(β/2)cos(β/2), 1 = 8sin(β/2), sin(β/2) = 1/8.

β/2 = arcsin(1/8), β = 2 * arcsin(1/8).

Приблизительно β = 2 * 0.1253 = 0.2506 радиан = 14.36 градуса.

Ответ: Угол, лежащий против основания, приблизительно равен 14.36 градуса.