N4. 1) log5|x-1| + log5|x+3| = 1

Решение:

Запишем уравнение, используя свойства логарифмов:

\[ \log_5 ( |x-1| \cdot |x+3| ) = 1 \]

По определению логарифма:

\[ |x-1| \cdot |x+3| = 5^1 \]

\[ |(x-1)(x+3)| = 5 \]

\[ |x^2 + 3x - x - 3| = 5 \]

\[ |x^2 + 2x - 3| = 5 \]

Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x^2 + 2x - 3 = 5 \)

\[ x^2 + 2x - 3 - 5 = 0 \]

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \)

Корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2+6}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2-6}{2} = -4 \)

Случай 2: \( x^2 + 2x - 3 = -5 \)

\[ x^2 + 2x - 3 + 5 = 0 \]

\[ x^2 + 2x + 2 = 0 \]

Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 \)

Так как \( D < 0 \), действительных корней в этом случае нет.

Проверим полученные корни в исходном уравнении:

При \( x=2 \): \( \log_5 |2-1| + \log_5 |2+3| = \log_5 1 + \log_5 5 = 0 + 1 = 1 \) (Верно)

При \( x=-4 \): \( \log_5 |-4-1| + \log_5 |-4+3| = \log_5 |-5| + \log_5 |-1| = \log_5 5 + \log_5 1 = 1 + 0 = 1 \) (Верно)

Ответ: x = 2, x = -4.