Nº 2 Математика в чат-боте Дима выбрал два натуральных числа а и в и затем отправил запрос модели ИИ найти значение выражения а + b · 2 (он записал это выражение на бумажке, сфотографировал и загрузил полученную фотографию). Из-за неаккуратного почерка модель распознала записанное выражение как а + 62 и в результате ответ модели оказался на 80 больше правильного. Найдите последнюю цифру числа а · b.

Обозначим правильное выражение как $$a + 2b$$, а выражение, которое распознала модель, как $$a + b^2$$. По условию, ответ модели оказался на 80 больше правильного, значит:

$$a + b^2 = a + 2b + 80$$

Упростим уравнение:

$$b^2 - 2b = 80$$

$$b^2 - 2b - 80 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b. Можно воспользоваться теоремой Виета или формулой дискриминанта. Здесь удобно использовать теорему Виета:

Пусть $$b_1$$ и $$b_2$$ - корни уравнения. Тогда:

$$b_1 + b_2 = 2$$

$$b_1 \cdot b_2 = -80$$

Подбором находим, что корни $$b_1 = 10$$ и $$b_2 = -8$$. Так как b - натуральное число, то $$b = 10$$.

Теперь найдем значение a, используя исходные данные. Подставим $$b = 10$$ в уравнение $$b^2 - 2b = 80$$:

$$10^2 - 2 \cdot 10 = 100 - 20 = 80$$

Так как $$a + b^2 = a + 2b + 80$$, то можно записать:

$$a + 10^2 = a + 2 \cdot 10 + 80$$

$$a + 100 = a + 20 + 80$$

$$a + 100 = a + 100$$

Это означает, что уравнение выполняется при любом значении a. Однако, по условию, a - натуральное число.

Нам нужно найти последнюю цифру числа $$a \cdot b$$. Поскольку $$b = 10$$, то $$a \cdot b = a \cdot 10 = 10a$$. Последняя цифра числа $$10a$$ всегда равна 0, так как любое натуральное число, умноженное на 10, заканчивается на 0.

Ответ: 0