Мяч массой 200 г свободно падает с высоты 3 м. Ударившись о пол, мяч отскочил от него вертикально вверх. На какую высоту поднялся мяч, если работа силы тяжести на всём его пути 2 Дж?

Решение:

1. Переведём массу мяча из граммов в килограммы:
   \( m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг} \)
2. Рассчитаем начальную потенциальную энергию мяча на высоте 3 м:
   \( E_{p1} = mgh_1 \), где
   \( m = 0.2 \text{ кг} \)
   \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \) (ускорение свободного падения)
   \( h_1 = 3 \text{ м} \)
   \( E_{p1} = 0.2 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2 \times 3 \text{ м} = 6 \text{ Дж} \)
3. Работа силы тяжести при падении равна убыли потенциальной энергии:
   \( A_{тяж} = E_{p1} - E_{p2} \)
   Нам дано, что работа силы тяжести на всём пути (падение + подъём) составляет 2 Дж.
   При падении работа силы тяжести положительна: \( A_{пад} = E_{p1} - E_{p2} = 6 \text{ Дж} - E_{p2} \).
   При подъёме работа силы тяжести отрицательна: \( A_{под} = E_{p2} - E_{p1} \).
   Общая работа силы тяжести: \( A_{общ} = A_{пад} + A_{под} = (E_{p1} - E_{p2}) + (E_{p2} - E_{p1}) \) - это неверный подход, так как работа силы тяжести при подъеме и падении имеет разные знаки.
   Правильный подход: работа силы тяжести определяется изменением высоты.
   Работа силы тяжести при падении с высоты \( h_1 \) до пола равна \( A_{пад} = mgh_1 = 0.2 \times 10 \times 3 = 6 \) Дж.
   Работа силы тяжести при подъёме на высоту \( h_2 \) равна \( A_{под} = -mgh_2 \).
   Общая работа силы тяжести на всём пути (падение и подъём) равна сумме работ на каждом этапе:
   \( A_{общ} = A_{пад} + A_{под} = mgh_1 - mgh_2 \).
   Нам дано, что \( A_{общ} = 2 \) Дж.
   \( 2 \text{ Дж} = 6 \text{ Дж} - mgh_2 \)
4. Найдем работу силы тяжести при подъёме:
   \( mgh_2 = 6 \text{ Дж} - 2 \text{ Дж} = 4 \text{ Дж} \)
5. Теперь найдём высоту, на которую поднялся мяч:
   \( h_2 = \frac{mgh_2}{mg} = \frac{4 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг} \times 10 \text{ м/с}^2} = \frac{4 \text{ Дж}}{2 \text{ Н}} = 2 \text{ м} \)

Ответ: 2 м.