My mother told me she ... cooking dinner. Варианты: finish; is finishing; finishes; had finished.

Правильный вариант: had finished.

Полное предложение: My mother told me she had finished cooking dinner. — «Моя мама сказала мне, что закончила готовить ужин». В придаточном предложении используется Past Perfect, поскольку действие завершилось раньше другого действия в прошлом.