Можно ли обойти все рёбра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Нет, это невозможно. Для такого обхода необходим граф, у которого ноль или две вершины имеют нечётную степень. Однако у додекаэдра все вершины имеют степень 3, то есть нечётные.