4. Можно ли на плоскости начертить семь отрезков так, чтобы три из них пересекались ровно с тремя отрезками каждый, а четыре - ровно с четырьмя отрезками каждый? (10 баллов) 5. Во дворе стоят 5 домов, в них живет 5, 15, 25, 35, 45 человек. Известно, что у каждого есть не менее двух тезок (людей с такими же именами) среди жителей двора. Докажите, что у кого-то есть тезка в своем доме. (10 баллов)

Ответ: 4. Нет, нельзя. 5. Доказательство в решении.

Решение задачи 4:

• Предположим, что можно начертить семь отрезков, удовлетворяющих условиям задачи.
• Пусть A - множество отрезков, которые пересекаются ровно с тремя другими отрезками, а B - множество отрезков, которые пересекаются ровно с четырьмя другими отрезками.
• По условию, |A| = 3 и |B| = 4.
• Рассмотрим общее количество пересечений. Каждый отрезок из A пересекается с тремя другими, и каждый отрезок из B пересекается с четырьмя другими. Общее количество пересечений должно быть целым числом.
• Если мы суммируем количество пересечений для каждого отрезка, мы получим 3 * 3 + 4 * 4 = 9 + 16 = 25.
• Однако, каждое пересечение учитывается дважды (по одному разу для каждого из пересекающихся отрезков). Следовательно, общее количество пересечений должно быть 25/2 = 12.5.
• Но количество пересечений должно быть целым числом, а 12.5 не является целым числом.
• Следовательно, наше предположение неверно, и невозможно начертить семь отрезков, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Нет, нельзя.

Решение задачи 5:

• Пусть количество жителей в домах равно 5, 15, 25, 35 и 45.
• Общее количество жителей во дворе составляет 5 + 15 + 25 + 35 + 45 = 125 человек.
• Известно, что у каждого жителя есть не менее двух тезок во дворе.
• Предположим, что ни у кого нет тезки в своем доме. Тогда все тезки каждого жителя должны жить в других домах.
• Рассмотрим самый маленький дом, в котором живут 5 человек. У каждого из этих 5 человек должно быть как минимум 2 тезки в других домах. Это означает, что всего должно быть минимум 5 * 2 = 10 тезок, живущих не в этом доме.
• Рассмотрим следующий по размеру дом, в котором живут 15 человек. У каждого из этих 15 человек должно быть как минимум 2 тезки в других домах. Это означает, что всего должно быть минимум 15 * 2 = 30 тезок, живущих не в этом доме.
• Продолжая эту логику для всех домов, получим:
• 5 * 2 = 10 тезок
• 15 * 2 = 30 тезок
• 25 * 2 = 50 тезок
• 35 * 2 = 70 тезок
• 45 * 2 = 90 тезок
• Суммируя все эти значения, получим 10 + 30 + 50 + 70 + 90 = 250.
• Однако, мы знаем, что всего во дворе 125 человек, и каждый человек был учтен дважды (как житель дома и как тезка).
• Таким образом, общее количество тезок должно быть 250/2 = 125.
• Но 250 больше, чем общее количество жителей во дворе (125). Это противоречие.
• Следовательно, наше предположение, что ни у кого нет тезки в своем доме, неверно.
• Значит, у кого-то есть тезка в своем доме.

Ответ: Доказано, что у кого-то есть тезка в своем доме.