Моторная лодка должна пересечь реку шириной h = 1 км. Скорость течения реки u = 2 м/с. Скорость лодки относительно воды v = 5 м/с. Каково минимально возможное время переправы tmin? Под каким углом α к берегу относится лодка, чтобы достичь противоположного берега по кратчайшему пути? Сколько времени займет такая переправа?

Решение:

1. Минимальное время переправы:

Чтобы время переправы было минимальным, лодка должна двигаться перпендикулярно берегу относительно воды. Скорость лодки относительно берега будет равна скорости течения реки, а скорость, с которой лодка пересекает реку, будет равна скорости лодки относительно воды.

Дано:

• Ширина реки: \( h = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \)
• Скорость течения реки: \( u = 2 \text{ м/с} \)
• Скорость лодки относительно воды: \( v = 5 \text{ м/с} \)

Находим минимальное время переправы \( t_{min} \):

\[ t_{min} = \frac{h}{v} = \frac{1000 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 200 \text{ с} \]

2. Угол, под которым лодка относится к берегу для кратчайшего пути:

Для достижения противоположного берега по кратчайшему пути, результирующая скорость лодки относительно берега должна быть направлена строго поперек реки, перпендикулярно берегу. Это означает, что вектор скорости лодки относительно воды \( \vec{v} \) должен быть направлен под углом \( \alpha \) к вектору скорости течения \( \vec{u} \) таким образом, чтобы их сумма \( \vec{v}_{res} = \vec{v} + \vec{u} \) была перпендикулярна берегу.

Рассмотрим векторы:

• \( \vec{v} \) - скорость лодки относительно воды.
• \( \vec{u} \) - скорость течения реки (направлена вдоль берега).
• \( \vec{v}_{res} \) - скорость лодки относительно берега (направлена поперек реки).

Для кратчайшего пути, вектор \( \vec{v}_{res} \) должен быть перпендикулярен \( \vec{u} \). Это возможно, если лодка будет направлена под углом \( \alpha \) к берегу против течения.

Из прямоугольного треугольника скоростей:

\[ \sin{\alpha} = \frac{u}{v} = \frac{2 \text{ м/с}}{5 \text{ м/с}} = 0.4 \]\[ \alpha = \arcsin{(0.4)} \approx 23.58^{\circ} \]

Угол \( \alpha \) - это угол между вектором скорости лодки относительно воды и вектором скорости течения. Лодка должна быть направлена под углом \( 90^{\circ} + \alpha \) к берегу, или под углом \( 90^{\circ} - \alpha \) к направлению течения.

Если под углом \( \alpha \) к берегу имеется в виду угол к направлению, перпендикулярному берегу, то:

\[ \cos{\beta} = \frac{v_{res}}{v} \]\[ v_{res} = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \text{ м/с} \]\[ \cos{\beta} = \frac{\sqrt{21}}{5} \approx 0.9165 \]\[ \beta = \arccos{(0.9165)} \approx 23.58^{\circ} \]

Таким образом, лодка должна быть направлена под углом примерно \( 23.58^{\circ} \) против течения, чтобы пересечь реку по кратчайшему пути.

3. Время переправы по кратчайшему пути:

Скорость, с которой лодка пересекает реку по кратчайшему пути (перпендикулярно берегу), равна \( v_{res} \):

\[ v_{res} = \sqrt{v^2 - u^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21} \text{ м/с} \]

Время переправы по кратчайшему пути:

\[ t = \frac{h}{v_{res}} = \frac{1000 \text{ м}}{\sqrt{21} \text{ м/с}} \approx \frac{1000}{4.58} \approx 218.3 \text{ с} \]

Ответ: Минимальное время переправы \( t_{min} = 200 \text{ с} \). Чтобы достичь противоположного берега по кратчайшему пути, лодка должна быть направлена под углом \( \alpha \approx 23.58^{\circ} \) против течения (или под углом \( 90^{\circ} + 23.58^{\circ} = 113.58^{\circ} \) к берегу, если считать от направления течения). Такая переправа займет \( t \approx 218.3 \text{ с} \).