Монету подбросили четыре раза. Известно, что в этом случае возможны 16 исходов. Для каждого указанного в таблице события укажите количество исходов, в которых оно наступает.

Пояснение:

Для решения этой задачи будем использовать комбинаторику. При подбрасывании монеты 4 раза общее число исходов равно $$2^4 = 16$$. Наша задача — найти, сколько комбинаций соответствует каждому событию.

Пошаговое решение:

1. "Орел выпал ровно три раза"

Это задача на биномиальные коэффициенты. Нам нужно выбрать 3 подбрасывания из 4, где выпадет орел. Используем формулу сочетаний $$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

В данном случае $$n=4$$ (общее число подбрасываний) и $$k=3$$ (число выпадений орла).

$$C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4$$.

Таким образом, существует 4 исхода, когда орел выпадет ровно три раза.

2. "Орел выпал ровно два раза"

Аналогично, нам нужно выбрать 2 подбрасывания из 4, где выпадет орел.

В данном случае $$n=4$$ и $$k=2$$.

$$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$$.

Существует 6 исходов, когда орел выпадет ровно два раза.

3. "Орел выпал не менее двух раз"

Событие "не менее двух раз" означает, что орел выпал 2 раза, 3 раза или 4 раза. Мы уже знаем, что орел выпал ровно 2 раза (6 исходов) и ровно 3 раза (4 исхода). Осталось посчитать случаи, когда орел выпал ровно 4 раза.

Случай "орел выпал ровно 4 раза": $$C(4, 4) = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$$.

Общее количество исходов: $$6 (\text{ровно 2 раза}) + 4 (\text{ровно 3 раза}) + 1 (\text{ровно 4 раза}) = 11$$.

Существует 11 исходов, когда орел выпал не менее двух раз.

4. "Орел выпал менее двух раз"

Событие "менее двух раз" означает, что орел выпал 0 раз или 1 раз.

Случай "орел выпал ровно 0 раз": $$C(4, 0) = \frac{4!}{0!(4-0)!} = \frac{4!}{0!4!} = 1$$.

Случай "орел выпал ровно 1 раз": $$C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$$.

Общее количество исходов: $$1 (\text{ровно 0 раз}) + 4 (\text{ровно 1 раз}) = 5$$.

Существует 5 исходов, когда орел выпал менее двух раз.

Сводная таблица:

Проверка: Сумма всех исходов: $$4 + 6 + 11 + 5 = 26$$. Это не совпадает с общим числом исходов (16). Ошибка в рассуждении.

Перепроверка:

Событие "не менее двух раз" = (ровно 2 раза) + (ровно 3 раза) + (ровно 4 раза) = 6 + 4 + 1 = 11.

Событие "менее двух раз" = (ровно 0 раз) + (ровно 1 раз) = 1 + 4 = 5.

Сумма исходов для "не менее двух" и "менее двух" должна быть равна общему числу исходов (16), так как эти события являются противоположными.

$$11 + 5 = 16$$. Это верно.

Финальный ответ:

• "Орел выпал ровно три раза": 4
• "Орел выпал ровно два раза": 6
• "Орел выпал не менее двух раз": 11
• "Орел выпал менее двух раз": 5