MN = 36 MP, PN-?

Решение:

Треугольник NKM — прямоугольный. Угол M равен 30°, значит, угол N равен 60°.

В прямоугольном треугольнике MPN: \( \angle NMP = 30° \), \( \angle MPN = 90° \). Следовательно, \( \angle PNM = 180° - 90° - 30° = 60° \).

В прямоугольном треугольнике NKM: \( \angle NKM = 90° \), \( ∠ KMN = 30° \). Следовательно, \( ∠ KNM = 180° - 90° - 30° = 60° \).

По условию \( MN = 36 \).

В прямоугольном треугольнике NKM, катет NK, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы MN.

\( NK = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \).

Катет KM, прилежащий к углу 30°, равен \( NK \cdot \sqrt{3} = 18 \sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике MPN:

\( PN = MN \cdot \cos(30°) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \).

\( MP = MN \cdot \sin(30°) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18 \).

Ответ: MP = 18, PN = 18\(\sqrt{3}\).