МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ФГБОУ ВО Пензенский ГАУ 2025/2026учебный год Факультет СПО Кафедра физики и математики Дисциплина математика Курс 1 Форма обучения очная ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №26 1. Знаки тригонометрических функций. Основные тригонометрические тождества. Формулы двойных углов. 2. Определение логарифма, десятичного и натурального логарифма. Запись основного логарифмического тождества. 14 sin 409° 3. sin 49° Составитель А.А. Вилкова Заведующий кафедрой Н.М. Семикова «20» января 2026 г.

Решение:

1. Знаки тригонометрических функций, основные тригонометрические тождества, формулы двойных углов:

• Знаки тригонометрических функций:
  
  
  • В I четверти (0° < α < 90°): sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0, ctg α > 0.
  
  
  • В II четверти (90° < α < 180°): sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0.
  
  
  • В III четверти (180° < α < 270°): sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0.
  
  
  • В IV четверти (270° < α < 360°): sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0, ctg α < 0.
  
  


• Основные тригонометрические тождества:
  
  
  • Основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)
  
  
  • Тождества для тангенса и котангенса: \( \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \) (при \( \cos\alpha \neq 0 \)), \( \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \) (при \( \sin\alpha \neq 0 \))
  
  
  • Связь тангенса и котангенса: \( \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 \)
  
  
  • Тождества с единицами: \( 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \) (при \( \cos\alpha \neq 0 \)), \( 1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \) (при \( \sin\alpha \neq 0 \))
  
  


• Формулы двойных углов:
  
  
  • Синус двойного угла: \( \sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha \)
  
  
  • Косинус двойного угла: \( \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \)
  
  
  • Тангенс двойного угла: \( \text{tg} 2\alpha = \frac{2 \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha} \) (при \( \text{tg}\alpha \neq \pm 1 \), \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \) )
  
  

2. Определение логарифма, десятичного и натурального логарифма, запись основного логарифмического тождества:

• Логарифм числа b по основанию a (где a > 0, a ≠ 1, b > 0) — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Обозначается \( \log_a b \).


• Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначается \( \text{lg } b \) (то есть \( \text{lg } b = \log_{10} b \)).


• Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e (число Эйлера, \( e \approx 2.71828 \)). Обозначается \( \ln b \) (то есть \( \ln b = \log_e b \)).


• Основное логарифмическое тождество: Если \( \log_a b = x \), то \( a^x = b \).

3. Вычисление значения выражения:

Выражение: \( \frac{14 \sin 409^{\circ}}{\sin 49^{\circ}} \)

Решение:

1. Используем периодичность синуса: \( \sin(409^{\circ}) = \sin(360^{\circ} + 49^{\circ}) = \sin(49^{\circ}) \).


2. Подставляем это в исходное выражение: \( \frac{14 \sin 49^{\circ}}{\sin 49^{\circ}} \)


3. Сокращаем \( \sin 49^{\circ} \) (так как \( \sin 49^{\circ} \neq 0 \)).

Ответ: 14.