15. Медиана равностороннего треугольника равна 15√3. Найдите сторону этого треуголь- ника. Ответ:

Медиана равностороннего треугольника, проведённая к стороне, является также высотой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны равностороннего треугольника и стороной равностороннего треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, тогда половина стороны равна a/2.

По теореме Пифагора:

$$a^2 = (a/2)^2 + (15\sqrt{3})^2$$

$$a^2 = \frac{a^2}{4} + 225 \cdot 3$$

$$a^2 - \frac{a^2}{4} = 675$$

$$\frac{3a^2}{4} = 675$$

$$a^2 = \frac{675 \cdot 4}{3} = 225 \cdot 4 = 900$$

$$a = \sqrt{900} = 30$$

Ответ: 30