Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3+t2-8t + 180, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 40 м/с?

Ответ: 6

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции x(t)

   Производная функции x(t) = \(\frac{1}{6}t^3 + t^2 - 8t + 180\) представляет собой скорость v(t).

   \[v(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{6}t^3 + t^2 - 8t + 180) = \frac{1}{2}t^2 + 2t - 8\]

2. Шаг 2: Приравниваем производную к 40 и решаем уравнение

   Чтобы найти момент времени, когда скорость равна 40 м/с, нужно решить уравнение v(t) = 40:

   \[\frac{1}{2}t^2 + 2t - 8 = 40\]

   Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

   \[t^2 + 4t - 16 = 80\]

   Переносим все в левую часть:

   \[t^2 + 4t - 96 = 0\]

3. Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

   Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\]

   \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

   \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

   Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительное значение t = 8.

   Проверка: \[ v(8) = \frac{1}{2}(8)^2 + 2(8) - 8 = \frac{1}{2} \cdot 64 + 16 - 8 = 32 + 16 - 8 = 40 \]

   Но есть нюанс в условии, а именно \(x(t)=\frac{1}{6}t^3 + t^2 - 8t + 180\), а не x(t)=t3+t2-8t + 180. Исходя из этого необходимо пересчитать

   \[v(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{6}t^3 + t^2 - 8t + 180) = \frac{1}{2}t^2 + 2t - 8\]

   Чтобы найти момент времени, когда скорость равна 40 м/с, нужно решить уравнение v(t) = 40:

   \[\frac{1}{2}t^2 + 2t - 8 = 40\]

   Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

   \[t^2 + 4t - 16 = 80\]

   Переносим все в левую часть:

   \[t^2 + 4t - 96 = 0\]

   Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\]

   \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8\]

   \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

   Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительное значение t = 8.

   Проверка: \[ v(8) = \frac{1}{2}(8)^2 + 2(8) - 8 = \frac{1}{2} \cdot 64 + 16 - 8 = 32 + 16 - 8 = 40 \]

   Найдем вторую производную

   \[a(t) = t+2\]

   Приравняем к нулю, чтобы найти точку экстремума

   \[t+2 = 0 \]

   \[t=-2\]

   Далее найдем значение скорости в точке t = -2

   \[v(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) - 8 = 2 -4 -8 = -10\]

   Следовательно, скорость = 40 будет в точке, где производная равна нулю. Найдем эту точку

   \[v(t) = \frac{1}{2}t^2 + 2t - 8 = 0\]

   \[t^2 + 4t - 16 = 0\]

   \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80\]

   \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 + 8.94}{2} = \frac{4.94}{2} = 2.47\]

   \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 - 8.94}{2} = \frac{-12.94}{2} = -6.47\]

   Подставим значение t = 2.47 в исходную формулу

   \[v(t) = \frac{1}{2}*(2.47)^2 + 2(2.47) - 8\] \[v(t) = 3.05 + 4.94 - 8 = -0.01 \approx 0\]

   Следовательно, в задаче есть ошибка и нужно, чтобы \(\frac{1}{2}t^2 + 2t - 8 = 10\)

   \[\frac{1}{2}t^2 + 2t - 18 = 0\]

   \[t^2 + 4t - 36 = 0\]

   \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 16 + 144 = 160\]

   \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{160}}{2} = \frac{-4 + 12.65}{2} = \frac{8.65}{2} = 4.33\]

   \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{160}}{2} = \frac{-4 - 12.65}{2} = \frac{-16.65}{2} = -8.33\]

   Поэтому, считаю, что в данной задаче ошибка.

   Но если рассматривать уравнение

   \[\frac{1}{2}t^2 + 2t - 8 = 40\]

   То ответ будет t = 8

Ответ: 8