Математика. Решите задачу: Плот по течению реки отправили вниз по реке. Через 4 часа вслед за плотом вышел катер. Его собственная скорость — 12 км/ч. На каком расстоянии от пристани катер догонит плот?

Дано:

\( t_{плота} = 4 \) ч (время отрыва катера от плота)

\( v_{катера} = 12 \) км/ч (собственная скорость катера)

\( v_{плота} \) — ? (скорость плота)

\( S \) — ? (расстояние, на котором катер догонит плот)

Предполагаем, что скорость течения реки равна скорости плота.

Решение:

1. Пусть \( v_{течения} = v \) км/ч. Тогда скорость плота \( v_{плота} = v \) км/ч.
2. Скорость катера по течению: \( v_{катера.по.теч} = v_{катера} + v_{течения} = 12 + v \) км/ч.
3. За 4 часа плот пройдёт расстояние: \( S_{плота} = v_{плота} \cdot t_{плота} = v \cdot 4 = 4v \) км.
4. Катер догонит плот, когда они пройдут одинаковое расстояние от пристани. Пусть время движения катера до момента встречи равно \( t \) ч.
5. Расстояние, пройденное катером: \( S_{катера} = v_{катера.по.теч} \cdot t = (12 + v) \cdot t \) км.
6. Расстояние, пройденное плотом за это время (плюс 4 часа, которые он плыл до выхода катера): \( S_{плота.общ} = v_{плота} \cdot (t + 4) = v \cdot (t + 4) \) км.
7. Приравниваем расстояния: \( (12 + v) \cdot t = v \cdot (t + 4) \).
8. Раскрываем скобки: \( 12t + vt = vt + 4v \).
9. Сокращаем \( vt \): \( 12t = 4v \).
10. Выражаем \( t \) через \( v \): \( t = \frac{4v}{12} = \frac{v}{3} \) ч.
11. Теперь найдём расстояние, на котором катер догонит плот. Для этого подставим \( t = \frac{v}{3} \) в формулу расстояния катера: \( S = (12 + v) \cdot \frac{v}{3} = \frac{12v + v^2}{3} = 4v + \frac{v^2}{3} \) км.
12. В условии не указана скорость течения реки, что делает задачу неоднозначной. Предположим, что скорость течения равна 3 км/ч, чтобы получить целочисленный ответ.
13. Если \( v = 3 \) км/ч:
• \( t = \frac{3}{3} = 1 \) ч (время движения катера до встречи).
• \( S = 4 \cdot 3 + \frac{3^2}{3} = 12 + \frac{9}{3} = 12 + 3 = 15 \) км.

Ответ: 15 км.