Математика, 8 класс. Вариант 1. Часть 2. Задача про катер.

Условие:

Катер вышел из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 132 км. Доплыв до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше. Скорость течения реки равна 5 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Пошаговое решение:

1. Пусть собственная скорость катера равна \(x\) км/ч. Тогда скорость катера по течению равна \(x + 5\) км/ч, а против течения — \(x - 5\) км/ч.
2. Время, затраченное на путь из A в B (по течению), равно \(\frac{132}{x + 5}\) часов.
3. Время, затраченное на путь из B в A (против течения), равно \(\frac{132}{x - 5}\) часов.
4. Из условия задачи известно, что на обратный путь катер затратил на 5 часов меньше, поэтому составим уравнение:
   \[ \frac{132}{x - 5} - \frac{132}{x + 5} = 5 \]
5. Приведем уравнение к общему знаменателю:
   \[ \frac{132(x + 5) - 132(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 5 \]
   \[ \frac{132x + 660 - 132x + 660}{x^2 - 25} = 5 \]
   \[ \frac{1320}{x^2 - 25} = 5 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 25\):
   \[ 1320 = 5(x^2 - 25) \]
   \[ 1320 = 5x^2 - 125 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону и упростим:
   \[ 5x^2 = 1445 \]
   \[ x^2 = 289 \]
8. Найдем корень уравнения:
   \[ x = \sqrt{289} \]
   \[ x = 17 \]

Ответ: Собственная скорость катера равна 17 км/ч.