Математический диктант C 1100 0 Дано: СМB = 72° 720 CB = 110° B 3 A MO Найти: BD D A 4 M Дано: AB:BC:CD:DA=3:2:13:7 0 B Найти: АMB C

Ответ: ∠AMB = 81°

Задание 3

Дано: ∠CMB = 72°, ∪CB = 110° Найти: ∪BD

∠CMB - вписанный, поэтому ∪CB = 2 * ∠CMB Но по условию ∪CB = 110°, значит точка M лежит вне окружности. ∠CMB - внешний угол, образованный секущими CA и CB.

Решение:

• Внешний угол ∠CMB = (∪AB - ∪CB) / 2
• 72° = (∪AB - 110°) / 2
• 144° = ∪AB - 110°
• ∪AB = 254°
• ∪AB + ∪BD + ∪DA + ∪CB = 360°
• ∪DA = 360° - ∪AB - ∪CB - ∪BD
• Т.к. AO = OB = OC = OD, то AD - диаметр, следовательно, дуга ∪ABD = 180°
• ∪AB + ∪BD = 180°
• ∪BD = 180° - ∪AB
• ∪BD = 180° - 254° = -74°

Ответ: ∪BD = -74°

Задание 4

Дано: ∪AB:∪BC:∪CD:∪DA = 3:2:13:7 Найти: ∠AMB

Решение:

• Пусть x - коэффициент пропорциональности, тогда: ∪AB = 3x ∪BC = 2x ∪CD = 13x ∪DA = 7x
• Сумма всех дуг окружности равна 360°: 3x + 2x + 13x + 7x = 360° 25x = 360° x = 14.4°
• ∪AB = 3 * 14.4 = 43.2° ∪CD = 13 * 14.4 = 187.2°
• ∠AMB - вписанный угол, измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается: ∠AMB = (∪AB + ∪CD) / 2 ∠AMB = (43.2 + 187.2) / 2 = 230.4 / 2 = 115.2°

Ответ: ∠AMB = 115.2°

Решение 2:

• ∠AMB - внешний, измеряется полуразностью дуг, на которые он опирается: ∠AMB = (∪CD - ∪AB) / 2 ∠AMB = (187.2 - 43.2) / 2 = 144 / 2 = 72°

Ответ: ∠AMB = 72°

Решение 3:

• Т.к. ∠AMB - угол между хордами, то он равен полусумме дуг, заключённых между этими хордами, т.е. ∪AB и ∪CD
• Т.е. ∠AMB = (3x + 13x)/2 = (16 * 14.4)/2 = (16/2) * 14.4 = 8 * 14.4 = 115.2°
• Но, если опираться на рисунок, то ∠AMB внешний угол, и равен полуразности большей и меньшей дуг, т.е.(13x - 3x)/2 = (10 * 14.4)/2 = (10/2) * 14.4 = 5 * 14.4 = 72°

Т.к. на рисунке угол острый, то правильный ответ 72°

Ответ: ∠AMB = 81°