Математическая карусель 7 класс 1. Упростите выражение: 2x-3 4 - 3x+1 6 + x-2 3 . 2. Из 35 учеников класса 20 занимаются в математическом кружке, 15 — в шахматном, а 10 — ни в том, ни в другом. Сколько учеников посещают оба кружка? Изобразите условие с помощью кругов Эйлера. 3. Упростите выражение: За(2a - 5b) - 2b4a-3b) - (a - b)². 4. Упростите выражение 3x²-2xy y2 y 9x2-4y2 и найдите его значение при х = 2 3 , y = -1. 5. Решите уравнение: 3x-2 5 = 2x+1 4 = 1-x 10 6. При каком значении параметра а уравнение 3(ах – 2) = 2(3х – а) не имеет корней? 7. Решите уравнение: | 2x - 5 = x + 3 |. 8. Катер прошел 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 час 30 минут. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч. 9. Заданы две функции: у = 3x - 5 и у = kx + 2. При каком значении к графики этих функций будут параллельны? При каком к будут пересекаться в точке на оси Оу? 10. В школьной столовой на первое можно выбрать борщ, щи или суп грибной, на второе - котлету, рыбу или плов, на третье компот, чай или кисель. Кроме того, можно заказать салат (оливье или винегрет), но только если выбрано второе блюдо «рыба». Сколько различных вариантов обеда (первое + второе + третье, возможно с салатом) может составить ученик? 11. Постройте график функции: -x, если х ≤ 0 y = {x², если 0 < x ≤2 2, если х > 2 Укажите область значений функции. 12. Преобразуйте в многочлен: (2a + 3b - c)². используя формулы сокращенного умножения: (x² + 4х +

1. Упростите выражение: \[\frac{2x-3}{4} - \frac{3x+1}{6} + \frac{x-2}{3}\]

• Приведем дроби к общему знаменателю 12: \[\frac{3(2x-3) - 2(3x+1) + 4(x-2)}{12}\]
• Раскроем скобки в числителе: \[\frac{6x-9 - 6x-2 + 4x-8}{12}\]
• Упростим выражение в числителе: \[\frac{4x - 19}{12}\]

Ответ: \[\frac{4x - 19}{12}\]

2. Задача про кружки

• Всего учеников: 35
• В математическом кружке: 20
• В шахматном кружке: 15
• Не посещают ни один кружок: 10
• Найдем количество учеников, посещающих хотя бы один кружок: 35 - 10 = 25
• Сумма учеников в обоих кружках: 20 + 15 = 35
• Найдем количество учеников, посещающих оба кружка: 35 - 25 = 10

Ответ: 10 учеников посещают оба кружка.

3. Упростите выражение: 3a(2a - 5b) - 2b(4a - 3b) - (a - b)²

• Раскроем скобки: 6a² - 15ab - 8ab + 6b² - (a² - 2ab + b²)
• Упростим выражение: 6a² - 23ab + 6b² - a² + 2ab - b²
• Приведем подобные члены: 5a² - 21ab + 5b²

Ответ: 5a² - 21ab + 5b²

4. Упростите выражение и найдите его значение: \[\frac{3x^2-2xy}{y^2} \cdot \frac{y}{9x^2-4y^2}\] при x = \(\frac{2}{3}\), y = -1

• Упростим выражение: \[\frac{x(3x-2y)}{y(9x^2-4y^2)}\]
• Разложим знаменатель: \[\frac{x(3x-2y)}{y(3x-2y)(3x+2y)}\]
• Сократим дробь: \[\frac{x}{y(3x+2y)}\]
• Подставим значения x и y: \[\frac{\frac{2}{3}}{-1(3\cdot\frac{2}{3}+2\cdot(-1))}\]
• Упростим: \[\frac{\frac{2}{3}}{-1(2-2)} = \frac{\frac{2}{3}}{0}\]

Так как знаменатель равен нулю, выражение не имеет значения.

Ответ: выражение не определено.

5. Решите уравнение: \[\frac{3x-2}{5} = \frac{2x+1}{4} = \frac{1-x}{10}\]

• Приведем к общему знаменателю: \[\frac{3x-2}{5} = \frac{2x+1}{4}\]
• Перемножим крест-накрест: 4(3x-2) = 5(2x+1)
• Раскроем скобки: 12x - 8 = 10x + 5
• Перенесем переменные в одну сторону: 12x - 10x = 5 + 8
• Упростим: 2x = 13
• Решим уравнение: x = 6.5
• Проверим полученный корень: \[\frac{3(6.5)-2}{5} = \frac{2(6.5)+1}{4} = \frac{1-6.5}{10}\]
• Упростим: \[\frac{19.5-2}{5} = \frac{13+1}{4} = \frac{-5.5}{10}\]
• Вычислим: \[\frac{17.5}{5} = \frac{14}{4} = -0.55\]
• Следовательно, 3.5 = 3.5 = -0.55. Получили противоречие, т.к. первое равенство не равно последнему.
• Ответ: Решений нет.

Ответ: решений нет.

6. При каком значении параметра a уравнение 3(ax - 2) = 2(3x - a) не имеет корней?

• Раскроем скобки: 3ax - 6 = 6x - 2a
• Перенесем переменные в одну сторону: 3ax - 6x = 6 - 2a
• Вынесем x за скобки: x(3a - 6) = 6 - 2a
• Уравнение не имеет корней, если коэффициент при x равен нулю, а свободный член отличен от нуля.
• 3a - 6 = 0 и 6 - 2a ≠ 0
• Решим уравнение: 3a = 6, a = 2
• Проверим условие: 6 - 2(2) ≠ 0, 6 - 4 ≠ 0, 2 ≠ 0 (условие выполняется)

Ответ: a = 2

7. Решите уравнение: |2x - 5| = |x + 3|

• Рассмотрим два случая:
• 1) 2x - 5 = x + 3
• 2x - x = 3 + 5
• x = 8
• 2) 2x - 5 = -(x + 3)
• 2x - 5 = -x - 3
• 2x + x = -3 + 5
• 3x = 2
• x = \(\frac{2}{3}\)

Ответ: x = 8, x = \(\frac{2}{3}\)

8. Задача про катер

• Пусть собственная скорость катера: x км/ч
• Скорость течения реки: 2 км/ч
• Расстояние по течению: 30 км
• Расстояние против течения: 13 км
• Время в пути: 1 час 30 минут = 1.5 часа
• Время по течению: \(\frac{30}{x+2}\)
• Время против течения: \(\frac{13}{x-2}\)
• Уравнение: \(\frac{30}{x+2} + \frac{13}{x-2} = 1.5\)
• Приведем к общему знаменателю: \(\frac{30(x-2) + 13(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1.5\)
• Раскроем скобки: \(\frac{30x - 60 + 13x + 26}{x^2 - 4} = 1.5\)
• Упростим: \(\frac{43x - 34}{x^2 - 4} = 1.5\)
• Перенесем: 43x - 34 = 1.5(x² - 4)
• Раскроем скобки: 43x - 34 = 1.5x² - 6
• 1.5x² - 43x + 28 = 0
• Решим квадратное уравнение: D = (-43)² - 4(1.5)(28) = 1849 - 168 = 1681
• x = \(\frac{43 ± \sqrt{1681}}{2(1.5)} = \frac{43 ± 41}{3}\)
• x₁ = \(\frac{43 + 41}{3} = \frac{84}{3} = 28\)
• x₂ = \(\frac{43 - 41}{3} = \frac{2}{3}\)
• Так как собственная скорость катера не может быть меньше скорости течения, x = \(\frac{2}{3}\) не подходит.

Ответ: 28 км/ч

9. Две функции: y = 3x - 5 и y = kx + 2

• Для параллельности: k = 3
• Для пересечения на оси Oy: x = 0
• y = 3(0) - 5 = -5
• y = k(0) + 2 = 2
• Функции пересекаются на оси Oy при любых k ≠ 3, так как при k = 3 они параллельны.

Ответ: графики параллельны при k = 3, пересекаются в точке на оси Oy при любых k ≠ 3.

10. Задача про столовую

• Первое блюдо: борщ, щи, суп (3 варианта)
• Второе блюдо: котлета, рыба, плов (3 варианта, но если выбрана рыба, то можно заказать салат)
• Третье блюдо: компот, чай, кисель (3 варианта)
• Если рыба не выбрана: 3 * 2 * 3 = 18 вариантов
• Если рыба выбрана: можно заказать салат, либо не заказывать. Т.е. 2 варианта. 3 * 1 * 3 * 2 = 18 вариантов.
• Итого: 18 + 18 = 36

Ответ: 36

11. График функции

Функция задана кусочно:

• y = -x, если x ≤ 0
• y = x², если 0 < x ≤ 2
• y = 2, если x > 2

Область значений функции: y ≥ 0

12. Преобразуйте в многочлен: (2a + 3b - c)²

• (2a + 3b - c)² = (2a + 3b - c)(2a + 3b - c)
• Раскроем скобки: 4a² + 6ab - 2ac + 6ab + 9b² - 3bc - 2ac - 3bc + c²
• Приведем подобные члены: 4a² + 9b² + c² + 12ab - 4ac - 6bc

Ответ: 4a² + 9b² + c² + 12ab - 4ac - 6bc