Максимальное число линейно независимых строк матрицы A равно:

Решение:

Чтобы найти максимальное число линейно независимых строк матрицы, нужно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество ненулевых строк.

Дана матрица:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Произведём элементарные преобразования строк:

1. Поменяем местами первую и третью строки (R1 \(\leftrightarrow\) R3):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

2. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 4 (R2 = R2 - 4R1), и из третьей строки первую, умноженную на 2 (R3 = R3 - 2R1), и из четвертой строки первую, умноженную на 3 (R4 = R4 - 3R1):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -4 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]

3. Разделим вторую строку на -2 (R2 = R2 / -2):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -4 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \]

4. Прибавим вторую строку к третьей (R3 = R3 + R2) и прибавим вторую строку, умноженную на 2, к четвертой (R4 = R4 + 2R2):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Матрица приведена к ступенчатому виду. Количество ненулевых строк равно 2.

Следовательно, максимальное число линейно независимых строк матрицы равно 2.

Ответ: 2