Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠ВАС=70° (рис. 2). Найдите угол ОВС.

Решение:

Из условия задачи известно, что лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Это означает, что радиусы OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно. Следовательно, \(\angle ABO = 90°\) и \(\angle ACO = 90°\).

Рассмотрим четырёхугольник ABOC. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

\(\angle BOC + \angle ABO + \angle ACO + \angle BAC = 360°\)

\(\angle BOC + 90° + 90° + 70° = 360°\)

\(\angle BOC + 250° = 360°\)

\(\angle BOC = 360° - 250° = 110°\)

Теперь рассмотрим треугольник OBC. Так как OB и OC — это радиусы одной окружности, то \( OB = OC \). Треугольник OBC является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB\).

Сумма углов в треугольнике OBC равна 180°.

\(\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180°\)

\(110° + \angle OBC + \angle OBC = 180°\)

\(110° + 2 \angle OBC = 180°\)

\(2 \angle OBC = 180° - 110°\)

\(2 \angle OBC = 70°\)

\(\angle OBC = \frac{70°}{2} = 35°\)

Ответ: 35°.