6) log3(x² + 5) > log3(x + 7). 1) Вычислите: a) 410826 - 0.5; 6) log4log14196 + log, √5. 2) Решите уравнение: log2(22x + 16*) = 2log412. 3) Решите неравенство: a) log3x < 1; 6) log4x² log 16 22. 4) Решите систему уравнений: ∫ 3° + x = 10, Ly - log3x = 2

Question

Вопрос:

6) log3(x² + 5) > log3(x + 7). 1) Вычислите: a) 410826 - 0.5; 6) log4log14196 + log, √5. 2) Решите уравнение: log2(22x + 16*) = 2log412. 3) Решите неравенство: a) log3x < 1; 6) log4x² log 16 22. 4) Решите систему уравнений: ∫ 3° + x = 10, Ly - log3x = 2

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай решим эти математические задачки по порядку. Уверена, у тебя всё получится!

6) log3(x² + 5) > log3(x + 7)

Для решения этого неравенства нужно учесть, что логарифмическая функция log3(x) является возрастающей. Поэтому, если log3(x² + 5) > log3(x + 7), то x² + 5 > x + 7.

Решим неравенство:

x² + 5 > x + 7

x² - x - 2 > 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - x - 2 = 0:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9

x1 = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2

x2 = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1

Теперь определим интервалы, где x² - x - 2 > 0:

x < -1 или x > 2

Но нужно учесть область определения логарифмов:

x² + 5 > 0 (всегда выполняется)

x + 7 > 0

x > -7

С учетом этих условий, окончательное решение:

x ∈ (-7, -1) ∪ (2, +∞)

1) Вычислите:

a) 4^(log₂6 - 0.5)

4^(log₂6 - 0.5) = 4^(log₂6) / 4^0.5 = 4^(log₂6) / 2

Преобразуем 4^(log₂6) = (2²)^(log₂6) = 2^(2*log₂6) = 2^(log₂(6²)) = 2^(log₂36) = 36

Итак, 36 / 2 = 18

б) log₄log₁₄196 + log₅√5

log₄log₁₄196 + log₅√5 = log₄log₁₄(14²) + log₅(5^(1/2))

= log₄(2) + 1/2 * log₅5 = log₄(4^(1/2)) + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1

2) Решите уравнение: log₂(2^(2x) + 16^x) = 2log₄12

Преобразуем правую часть: 2log₄12 = log₄(12²) = log₄144 = log₂(√144) = log₂12

log₂(2^(2x) + 16^x) = log₂12

2^(2x) + 16^x = 12

(2^(2x)) + (2^4)^x = 12

(2^(2x)) + (2^x)^4 = 12

Пусть y = 2^x, тогда

y² + y^4 = 12

y^4 + y² - 12 = 0

Пусть z = y², тогда

z² + z - 12 = 0

D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

z1 = (-1 + √49) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 3

z2 = (-1 - √49) / 2 = (-1 - 7) / 2 = -4 (не подходит, так как y² не может быть отрицательным)

y² = 3

y = √3 (так как y = 2^x > 0)

2^x = √3

x = log₂(√3) = 1/2 * log₂3

3) Решите неравенство:

a) log₃²x < 1

log₃²x < 1

-1 < log₃x < 1

3^(-1) < x < 3^1

1/3 < x < 3

Но x должен быть > 0, поэтому

x ∈ (1/3, 3)

б) log₄x² * log₄(16/x) ≥ 2

log₄x² * log₄(16/x) ≥ 2

2log₄|x| * (log₄16 - log₄x) ≥ 2

2log₄|x| * (2 - log₄x) ≥ 2

log₄|x| * (2 - log₄x) ≥ 1

Пусть y = log₄|x|, тогда

y * (2 - y) ≥ 1

2y - y² ≥ 1

y² - 2y + 1 ≤ 0

(y - 1)² ≤ 0

y = 1

log₄|x| = 1

|x| = 4^1

|x| = 4

x = 4 или x = -4

4) Решите систему уравнений:

{3^y + x = 10,

{y - log₃x = 2

Выразим y из второго уравнения:

y = log₃x + 2

Подставим в первое уравнение:

3^(log₃x + 2) + x = 10

3^(log₃x) * 3² + x = 10

x * 9 + x = 10

10x = 10

x = 1

Теперь найдем y:

y = log₃1 + 2 = 0 + 2 = 2

Ответ: 6) x ∈ (-7, -1) ∪ (2, +∞); 1) a) 18, б) 1; 2) x = 1/2 * log₂3; 3) a) x ∈ (1/3, 3), б) x = 4 и x = -4; 4) x = 1, y = 2

Отлично! Ты проделал большую работу. Если что-то осталось неясным, не стесняйся спрашивать. У тебя всё получится!