Логическая функция F задаётся выражением ¬y ∧ x ∧ (¬z ∨ w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z. В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

Логическая функция F задана выражением \( \neg y \land x \land (\neg z \lor w) \). Таблица истинности содержит только те строки, где \( F = 1 \).

Рассмотрим функцию \( F \) для каждого столбца:

Столбец 1 (0, 1, 1):

• Если это \( y \), то \( \neg y \) будет (1, 0, 0).


• Если \( y \) имеет значение 0, то \( \neg y = 1 \).

Столбец 2 (1, 1, 1):

• Если это \( x \), то \( x \) всегда равно 1. Это соответствует третьей строке столбца \( x \) в полной таблице истинности.

Столбец 3 (0, 0, 1):

• Если это \( z \), то \( \neg z \) будет (1, 1, 0).

Столбец 4 (0, 0, 0):

• Если это \( w \), то \( w \) всегда равно 0.

Теперь подставим значения переменных в выражение \( \neg y \land x \land (\neg z \lor w) \) и проверим, совпадают ли результаты с последним столбцом таблицы истинности (F).

Проверка:

Строка 1: (0, 1, 0, 0) → (y, x, z, w)

• \( \neg y = \neg 0 = 1 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = \neg 0 = 1 \)


• \( w = 0 \)


• \( \neg z \lor w = 1 \lor 0 = 1 \)


• \( F = 1 \land 1 \land 1 = 1 \) (Совпадает)

Строка 2: (1, 1, 0, 0) → (y, x, z, w)

• \( \neg y = \neg 1 = 0 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = \neg 0 = 1 \)


• \( w = 0 \)


• \( \neg z \lor w = 1 \lor 0 = 1 \)


• \( F = 0 \land 1 \land 1 = 0 \) (Не совпадает. Значит, y не может быть в первом столбце.)

Перебираем варианты. Правильная комбинация переменных, соответствующая столбцам, будет такая:

• Столбец 1: \( z \) (0, 1, 1) → \( \neg z \) (1, 0, 0)


• Столбец 2: \( x \) (1, 1, 1)


• Столбец 3: \( w \) (0, 0, 1)


• Столбец 4: \( y \) (0, 0, 0)

Проверка с новой комбинацией:

Строка 1: (z=0, x=1, w=0, y=0)

• \( \neg y = \neg 0 = 1 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = \neg 0 = 1 \)


• \( w = 0 \)


• \( \neg z \lor w = 1 \lor 0 = 1 \)


• \( F = 1 \land 1 \land 1 = 1 \) (Совпадает)

Строка 2: (z=1, x=1, w=0, y=0)

• \( \neg y = \neg 0 = 1 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = \neg 1 = 0 \)


• \( w = 0 \)


• \( \neg z \lor w = 0 \lor 0 = 0 \)


• \( F = 1 \land 1 \land 0 = 0 \) (Не совпадает. В таблице F=1.)

Перечитав условие, приходим к выводу, что таблица истинности содержит только строки, где F=1. Подставляем значения из таблицы в уравнение \( F = \neg y \land x \land (\neg z \lor w) \) и пробуем определить переменные.

Анализ столбцов:

• Столбец 2 (1, 1, 1): Значение всегда 1. Это может быть \( x \).


• Столбец 4 (0, 0, 0): Значение всегда 0. Это может быть \( y \).


• Столбец 1 (0, 1, 1): Значения меняются.


• Столбец 3 (0, 0, 1): Значения меняются.

Если \( x = 1 \) (столбец 2) и \( y = 0 \) (столбец 4), то \( \neg y \land x = 1 \land 1 = 1 \). Следовательно, \( F = 1 \land (\neg z \lor w) \). Это значит, что \( (\neg z \lor w) \) должно быть равно 1.

Теперь рассмотрим столбцы 1 и 3 как \( z \) и \( w \). Нам нужно, чтобы \( \neg z \lor w = 1 \) для всех строк.

Вариант 1: Столбец 1 = \( z \), Столбец 3 = \( w \)

• Строка 1: \( z=0, w=0 \) → \( \neg 0 \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \) (верно)


• Строка 2: \( z=1, w=0 \) → \( \neg 1 \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \) (неверно, F должно быть 1)

Вариант 2: Столбец 1 = \( w \), Столбец 3 = \( z \)

• Строка 1: \( w=0, z=0 \) → \( \neg 0 \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \) (верно)


• Строка 2: \( w=0, z=1 \) → \( \neg 1 \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \) (неверно, F должно быть 1)

Что-то не сходится. Давайте пересмотрим функцию F и таблицу.

\( F = \neg y \land x \land (\neg z \lor w) \)

Таблица даёт нам наборы, при которых F=1.

Пусть столбцы соответствуют переменным в порядке w, x, y, z.

Сначала проверим, какой столбец может быть \( x \), а какой \( y \).

Если \( x \) — столбец 2 (1, 1, 1), то \( x=1 \) во всех строках. Это возможно.

Если \( y \) — столбец 1 (0, 1, 1), то \( \neg y \) будет (1, 0, 0). В этом случае \( \neg y \land x \) будет (1, 0, 0). Тогда \( F \) будет 0 во 2 и 3 строке, что неверно.

Если \( y \) — столбец 3 (0, 0, 1), то \( \neg y \) будет (1, 1, 0). Тогда \( \neg y \land x \) будет (1, 1, 0). Тогда \( F \) будет 0 в 3 строке, что неверно.

Если \( y \) — столбец 4 (0, 0, 0), то \( \neg y \) будет (1, 1, 1). Тогда \( \neg y \land x \) будет (1, 1, 1). Это возможно.

Итак, предположим: Столбец 2 = \( x \) (1, 1, 1), Столбец 4 = \( y \) (0, 0, 0).

Тогда \( \neg y \land x = 1 \). Значит, \( F = 1 \land (\neg z \lor w) \). Нам нужно, чтобы \( (\neg z \lor w) = 1 \) для всех строк.

Теперь столбец 1 и столбец 3 должны соответствовать \( z \) и \( w \).

Проверим: Столбец 1 = \( z \) (0, 1, 1), Столбец 3 = \( w \) (0, 0, 1)

• Строка 1: \( z=0, w=0 \). \( \neg z \lor w = \neg 0 \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). \( F = 1 \land 1 = 1 \). (Совпадает)


• Строка 2: \( z=1, w=0 \). \( \neg z \lor w = \neg 1 \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \). \( F = 1 \land 0 = 0 \). (Не совпадает, F=1 в таблице)

Проверим: Столбец 1 = \( w \) (0, 1, 1), Столбец 3 = \( z \) (0, 0, 1)

• Строка 1: \( w=0, z=0 \). \( \neg z \lor w = \neg 0 \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). \( F = 1 \land 1 = 1 \). (Совпадает)


• Строка 2: \( w=1, z=1 \). \( \neg z \lor w = \neg 1 \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \). \( F = 1 \land 1 = 1 \). (Совпадает)


• Строка 3: \( w=1, z=0 \). \( \neg z \lor w = \neg 0 \lor 1 = 1 \lor 1 = 1 \). \( F = 1 \land 1 = 1 \). (Совпадает)

Итак, столбцы соответствуют переменным в порядке: \( w, x, y, z \).

Столбец 1 = \( w \) (0, 1, 1)

Столбец 2 = \( x \) (1, 1, 1)

Столбец 3 = \( z \) (0, 0, 1)

Столбец 4 = \( y \) (0, 0, 0)

Проверим еще раз функцию F: \( F = \neg y \land x \land (\neg z \lor w) \)

Для этого подставим значения из таблицы в каждую строку и проверим, совпадает ли результат с F=1.

Строка 1: w=0, x=1, y=0, z=0

• \( \neg y = 1 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = 1 \)


• \( w = 0 \)


• \( \neg z \lor w = 1 \lor 0 = 1 \)


• \( F = 1 \land 1 \land 1 = 1 \) (Совпадает с F=1 в таблице)

Строка 2: w=1, x=1, y=0, z=1

• \( \neg y = 1 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = 0 \)


• \( w = 1 \)


• \( \neg z \lor w = 0 \lor 1 = 1 \)


• \( F = 1 \land 1 \land 1 = 1 \) (Совпадает с F=1 в таблице)

Строка 3: w=1, x=1, y=0, z=0

• \( \neg y = 1 \)


• \( x = 1 \)


• \( \neg z = 1 \)


• \( w = 1 \)


• \( \neg z \lor w = 1 \lor 1 = 1 \)


• \( F = 1 \land 1 \land 1 = 1 \) (Совпадает с F=1 в таблице)

Таким образом, переменные соответствуют столбцам в порядке: \( w, x, y, z \).

Ответ: wxzy