Логическая функция F задаётся выражением "улх^(^zvw). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z. В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Решение:

Данная логическая функция имеет вид: \( \bar{y} \land x \land (\bar{z} \lor w) \)

Таблица истинности содержит строки, где функция \( F \) равна 1 (истинна). Нам нужно сопоставить столбцы таблицы с переменными \( w, x, y, z \).

Проанализируем функцию:

1. Для того чтобы \( F = 1 \), необходимо, чтобы все множители были равны 1.
2. \( \bar{y} = 1 \) означает, что \( y = 0 \).
3. \( x = 1 \).
4. \( (\bar{z} \lor w) = 1 \). Это условие выполняется, если \( \bar{z} = 1 \) (т.е. \( z = 0 \)) или \( w = 1 \) (или оба условия выполнены).

Рассмотрим строки таблицы, где \( F = 1 \):

Исходя из анализа функции, мы знаем, что \( y=0 \) и \( x=1 \) должны быть истинны для \( F=1 \). Это значит, что столбец с переменной \( y \) должен содержать \( 0 \) в этих строках, а столбец с \( x \) — \( 1 \). В таблице есть строки, где \( F=1 \), и в них есть \( 0 \) и \( 1 \). Мы видим, что столбец со значением '1' под переменной 'x' соответствует условию \( x=1 \). Столбец со значением '0' под переменной 'y' соответствует условию \( y=0 \).

Теперь рассмотрим условие \( (\bar{z} \lor w) = 1 \). В строках, где \( F=1 \), у нас есть следующие комбинации для \( z \) и \( w \):

• Строка 1: \( y=0, x=1 \), \( ?=0, ?=0 \). Если \( z=0 \) и \( w=0 \), то \( \bar{z} \lor w = \bar{0} \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). Эта строка подходит.
• Строка 2: \( y=0, x=1 \), \( ?=0, ?=0 \). Здесь \( z=0 \) и \( w=0 \). Подходит.
• Строка 3: \( y=0, x=1 \), \( ?=1, ?=0 \). Если \( z=1 \) и \( w=0 \), то \( \bar{z} \lor w = \bar{1} \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \). Это не подходит.
• Строка 4 (в таблице только 3 строки с F=1, но в условии сказано «все наборы аргументов, при которых функция F истинна»): предполагаем, что таблица может быть неполной или значения в ней могут быть не совсем корректно представлены, но есть 3 строки с F=1.

Давайте посмотрим на оставшиеся переменные \( z \) и \( w \). У нас есть два неизвестных столбца. В строках, где \( F=1 \), мы имеем:

• Строка 1: \( y=0, x=1, ?=0, ?=0, F=1 \).
• Строка 2: \( y=0, x=1, ?=1, ?=0, F=1 \).
• Строка 3: \( y=0, x=1, ?=1, ?=1, F=1 \).

Из условия \( (\bar{z} \lor w) \) мы знаем, что \( z \) может быть \( 0 \) или \( 1 \) (когда \( w=1 \)), а \( w \) может быть \( 0 \) (когда \( z=0 \)) или \( 1 \).

Если столбец со значением '0' и '1' соответствует \( z \), а столбец со значением '0' соответствует \( w \), то:

• Строка 1: \( z=0, w=0 \). \( \bar{0} \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). Подходит.
• Строка 2: \( z=1, w=0 \). \( \bar{1} \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \). Не подходит, т.к. F=1.

Если столбец со значением '0' соответствует \( z \), а столбец со значением '0' и '1' соответствует \( w \), то:

• Строка 1: \( z=0, w=0 \). \( \bar{0} \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). Подходит.
• Строка 2: \( z=0, w=1 \). \( \bar{0} \lor 1 = 1 \lor 1 = 1 \). Подходит.
• Строка 3: \( z=1, w=1 \). \( \bar{1} \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \). Подходит.

Таким образом, \( y \) соответствует столбцу с '0', \( x \) — с '1'. \( z \) соответствует столбцу с '0', а \( w \) — столбцу с '0' и '1'.

Порядок столбцов в таблице: ?, ?, ?, ?. Соответствующие переменные:

• Первый столбец (?) имеет значения 0, 1, 1. Это может быть \( y \) (если \( y \) принимал и \( 1 \) в других строках) или \( w \) или \( z \).
• Второй столбец (?) имеет значения 1, 1, 1. Это точно \( x \).
• Третий столбец (?) имеет значения 0, 0, 1. Это может быть \( z \) или \( w \).
• Четвертый столбец (?) имеет значения 0, 0, 0. Это может быть \( w \) или \( z \).

Проверим нашу гипотезу, что \( y \) = 1-й столбец, \( x \) = 2-й столбец, \( z \) = 3-й столбец, \( w \) = 4-й столбец.

Из функции \( \bar{y} \land x \land (\bar{z} \lor w) \):

• \( y \) должен быть 0, когда \( F=1 \). Во 2-й строке таблицы \( F=1 \) и \( y=0 \) (первый столбец).
• \( x \) должен быть 1, когда \( F=1 \). Во всех строках таблицы \( F=1 \) и \( x=1 \) (второй столбец).
• \( \bar{z} \lor w = 1 \)

Рассмотрим строки с \( F=1 \):

Для строки 1: \( y=0, x=1, z=0, w=0 \). \( \bar{0} \land 1 \land (\bar{0} \lor 0) = 1 \land 1 \land (1 \lor 0) = 1 \land 1 \land 1 = 1 \). Подходит.

Для строки 2: \( y=0, x=1, z=0, w=0 \). \( \bar{0} \land 1 \land (\bar{0} \lor 0) = 1 \land 1 \land (1 \lor 0) = 1 \land 1 \land 1 = 1 \). Подходит.

Для строки 3: \( y=0, x=1, z=1, w=0 \). \( \bar{0} \land 1 \land (\bar{1} \lor 0) = 1 \land 1 \land (0 \lor 0) = 1 \land 1 \land 0 = 0 \). НЕ подходит. Здесь \( F \) должна быть \( 0 \), но в таблице \( F=1 \).

Есть противоречие. Пересмотрим условие \( \bar{y} \land x \land (\bar{z} \lor w) \).

Для \( F=1 \), нам нужно:

1. \( y = 0 \)
2. \( x = 1 \)
3. \( (\bar{z} \lor w) = 1 \), что означает, что \( z=0 \) ИЛИ \( w=1 \).

В таблице у нас есть 3 строки, где \( F=1 \). Значит, в этих строках должны быть выполнены все три условия.

Рассмотрим столбцы таблицы и возможные переменные:

• Столбец 1: (0, 1, 1)
• Столбец 2: (1, 1, 1)
• Столбец 3: (0, 0, 1)
• Столбец 4: (0, 0, 0)
• Столбец F: (1, 1, 1)

Из условия \( y=0 \) и \( x=1 \) следует, что один столбец должен иметь только \( 0 \) (для \( y \)) и другой — только \( 1 \) (для \( x \)).

Столбец 2 имеет только \( 1 \). Значит, \( x \) — это столбец 2.

Столбец 4 имеет только \( 0 \). Значит, \( y \) — это столбец 4.

Теперь у нас остались столбцы 1 (0, 1, 1) и 3 (0, 0, 1) для \( z \) и \( w \). Условие \( (\bar{z} \lor w) = 1 \) должно выполняться.

Рассмотрим случай: \( z \) — столбец 1, \( w \) — столбец 3.

• Строка 1: \( y=0, x=1, z=0, w=0 \). \( \bar{0} \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). Подходит.
• Строка 2: \( y=0, x=1, z=1, w=0 \). \( \bar{1} \lor 0 = 0 \lor 0 = 0 \). НЕ подходит, так как \( F=1 \).

Рассмотрим случай: \( z \) — столбец 3, \( w \) — столбец 1.

• Строка 1: \( y=0, x=1, z=0, w=0 \). \( \bar{0} \lor 0 = 1 \lor 0 = 1 \). Подходит.
• Строка 2: \( y=0, x=1, z=0, w=1 \). \( \bar{0} \lor 1 = 1 \lor 1 = 1 \). Подходит.
• Строка 3: \( y=0, x=1, z=1, w=1 \). \( \bar{1} \lor 1 = 0 \lor 1 = 1 \). Подходит.

Таким образом, соответствие столбцов переменным:

1. Столбец 1: \( w \)
2. Столбец 2: \( x \)
3. Столбец 3: \( z \)
4. Столбец 4: \( y \)

Порядок переменных в ответе: \( w, x, y, z \).

Но в условии сказано: «В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы». То есть, если первый столбец — это \( w \), второй — \( x \), третий — \( z \), четвертый — \( y \), то ответ — \( wxzy \).

Давайте сверим столбцы таблицы с переменными: w, x, y, z. А в таблице столбцы: ?, ?, ?, ?.

Мы определили, что:

• Столбец, соответствующий \( x \) — второй столбец таблицы (значения 1, 1, 1).
• Столбец, соответствующий \( y \) — четвертый столбец таблицы (значения 0, 0, 0).
• Столбец, соответствующий \( z \) — третий столбец таблицы (значения 0, 0, 1).
• Столбец, соответствующий \( w \) — первый столбец таблицы (значения 0, 1, 1).

Значит, порядок столбцов в таблице соответствует переменным: 1-й столбец — \( w \), 2-й столбец — \( x \), 3-й столбец — \( z \), 4-й столбец — \( y \).

По условию: «В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.).»

Первый столбец соответствует \( w \).

Второй столбец соответствует \( x \).

Третий столбец соответствует \( z \).

Четвертый столбец соответствует \( y \).

Следовательно, ответ: \( wxzy \).

Проверим еще раз:

Функция: \( \bar{y} \land x \land (\bar{z} \lor w) \)

Таблица:

Строка 1: \( \bar{0} \land 1 \land (\bar{0} \lor 0) = 1 \land 1 \land (1 \lor 0) = 1 \). Верно.

Строка 2: \( \bar{0} \land 1 \land (\bar{0} \lor 1) = 1 \land 1 \land (1 \lor 1) = 1 \). Верно.

Строка 3: \( \bar{0} \land 1 \land (\bar{1} \lor 1) = 1 \land 1 \land (0 \lor 1) = 1 \). Верно.

Таким образом, соответствие переменных столбцам таблицы истинно.

Порядок столбцов в таблице: 1-й, 2-й, 3-й, 4-й.

Соответствующие им переменные: \( w, x, z, y \).

Ответ: wxzy