log2(x-3) + log2(x – 2) ≤ 1

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства, воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ:

• \( x - 3 > 0 \implies x > 3 \)
• \( x - 2 > 0 \implies x > 2 \)

Объединяя условия, получаем \( x > 3 \).

Теперь применим свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \):

\[ \log_2((x-3)(x-2)) \le 1 \]\[ \log_2(x^2 - 2x - 3x + 6) \le 1 \]\[ \log_2(x^2 - 5x + 6) \le 1 \]

Так как основание логарифма \( 2 \) больше \( 1 \), то при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

\[ x^2 - 5x + 6 \le 2^1 \]\[ x^2 - 5x + 6 \le 2 \]\[ x^2 - 5x + 4 \le 0 \]

Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \):

• \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
• \( x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

Парабола \( y = x^2 - 5x + 4 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 - 5x + 4 \le 0 \) выполняется при \( 1 \le x \le 4 \).

Теперь необходимо учесть ОДЗ \( x > 3 \). Пересечем полученный интервал \( [1; 4] \) с условием \( x > 3 \).

\( [1; 4] \cap (3; \infty) = (3; 4] \).

Ответ: \( x \in (3; 4] \).