344 1) log4 ((x + 2) (x + 3)) + log4 *2 = 2; x+3 2) log2-1+log2 ((x - 1) (x + 4)) = 2; x+4 3) log3 x²-log3 x+4 x x+6 = 3; 4) log2 + log2 x2 = 5. x 108

Давай решим эти логарифмические уравнения. Начнем с первого: 1) log₄((x + 2)(x + 3)) + log₄((x - 2)/(x + 3)) = 2 Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c) log₄(((x + 2)(x + 3)) * ((x - 2)/(x + 3))) = 2 log₄((x + 2)(x - 2)) = 2 log₄(x² - 4) = 2 Преобразуем в показательную форму: x² - 4 = 4² x² - 4 = 16 x² = 20 x = ±√20 x = ±2√5 Так как аргументы логарифмов должны быть положительными, проверяем: x + 2 > 0, x + 3 > 0, (x - 2)/(x + 3) > 0 При x = 2√5: 2√5 ≈ 4.47, что удовлетворяет всем условиям. При x = -2√5: -2√5 ≈ -4.47, что не удовлетворяет условиям (x + 2 и x + 3 должны быть > 0). Итак, x = 2√5. 2) log₂((x - 1)/(x + 4)) + log₂((x - 1)(x + 4)) = 2 Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c) log₂(((x - 1)/(x + 4)) * ((x - 1)(x + 4))) = 2 log₂((x - 1)²) = 2 Преобразуем в показательную форму: (x - 1)² = 2² (x - 1)² = 4 x - 1 = ±2 x = 1 ± 2 x = 3 или x = -1 Проверяем условия: (x - 1)/(x + 4) > 0 и (x - 1)(x + 4) > 0 При x = 3: (3 - 1)/(3 + 4) = 2/7 > 0 (3 - 1)(3 + 4) = 2 * 7 = 14 > 0 Подходит. При x = -1: (-1 - 1)/(-1 + 4) = -2/3 < 0 Не подходит. Итак, x = 3. 3) log₃(x²) - log₃(x/(x + 6)) = 3 Используем свойство логарифмов: logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b/c) log₃(x² / (x/(x + 6))) = 3 log₃(x² * (x + 6)/x) = 3 log₃(x(x + 6)) = 3 Преобразуем в показательную форму: x(x + 6) = 3³ x² + 6x = 27 x² + 6x - 27 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = 6² - 4 * 1 * (-27) = 36 + 108 = 144 √D = 12 x = (-6 ± 12) / 2 x = 3 или x = -9 Проверяем условия: x² > 0 и x/(x + 6) > 0 При x = 3: 3² = 9 > 0 3/(3 + 6) = 3/9 = 1/3 > 0 Подходит. При x = -9: (-9)² = 81 > 0 -9/(-9 + 6) = -9/(-3) = 3 > 0 Подходит. Итак, x = 3 или x = -9. 4) log₂((x + 4)/x) + log₂(x²) = 5 Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c) log₂(((x + 4)/x) * x²) = 5 log₂((x + 4)x) = 5 Преобразуем в показательную форму: x(x + 4) = 2⁵ x² + 4x = 32 x² + 4x - 32 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = 4² - 4 * 1 * (-32) = 16 + 128 = 144 √D = 12 x = (-4 ± 12) / 2 x = 4 или x = -8 Проверяем условия: (x + 4)/x > 0 и x² > 0 При x = 4: (4 + 4)/4 = 8/4 = 2 > 0 4² = 16 > 0 Подходит. При x = -8: (-8 + 4)/(-8) = -4/(-8) = 1/2 > 0 (-8)² = 64 > 0 Подходит. Итак, x = 4 или x = -8.

Ответ: x = 2√5; x = 3; x = 3 или x = -9; x = 4 или x = -8