log_4 (7-x) < 3

Решение:

1. Для решения логарифмического неравенства, сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( 7 - x > 0 \).
2. Из \( 7 - x > 0 \) следует \( x < 7 \).
3. Теперь решим само неравенство. Основание логарифма \( 4 \) больше единицы, значит, знак неравенства сохраняется: \( 7 - x < 4^3 \)
4. Вычислим \( 4^3 \): \( 4^3 = 64 \).
5. Получаем: \( 7 - x < 64 \).
6. Вычтем 7 из обеих частей неравенства: \( -x < 64 - 7 \)
7. \( -x < 57 \)
8. Умножим обе части на \( -1 \) и сменим знак неравенства: \( x > -57 \).
9. Теперь объединим полученные результаты: \( x < 7 \) и \( x > -57 \).
10. Объединённое решение: \( -57 < x < 7 \).

Ответ: \( (-57; 7) \).