log₅(3x+1) < 2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_5(3x+1) < 2 \) необходимо учесть два условия:

1. Обязательное условие для логарифма (аргумент логарифма должен быть больше нуля): \( 3x + 1 > 0 \).
2. Решение самого неравенства: Так как основание логарифма \( 5 \) больше \( 1 \), при снятии логарифма знак неравенства сохраняется: \( 3x + 1 < 5^2 \).

Решим первое условие:

\[ 3x + 1 > 0 \]

\[ 3x > -1 \]

\[ x > -\frac{1}{3} \]

Решим второе условие:

\[ 3x + 1 < 25 \]

\[ 3x < 24 \]

\[ x < 8 \]

Теперь найдём пересечение двух условий:

\[ -\frac{1}{3} < x < 8 \]

Таким образом, решение неравенства — это интервал от \( -1/3 \) до \( 8 \) (не включая концы).

Ответ: \( \left( -\frac{1}{3}; 8 \right) \).