1.log11(4 - x) = log11(6 + x) 2. log1(5x + 1) = -2 4 3.log7 x = log7 10 - 2log7 √5 4. log4(15-3x) = 3 5.log2(x² + 6x - 3) - log2(x + 3) = 2 6. log2x + log7x - 2 = 0

Давай решим эти логарифмические уравнения по порядку! 1. \( \log_{11}(4 - x) = \log_{11}(6 + x) \) Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то аргументы должны быть равны: \[ 4 - x = 6 + x \] \[ 2x = -2 \] \[ x = -1 \] Проверим: \( 4 - (-1) = 5 > 0 \) и \( 6 + (-1) = 5 > 0 \), значит, решение подходит. 2. \( \log_4(5x + 1) = -2 \) Представим в экспоненциальной форме: \[ 5x + 1 = 4^{-2} \] \[ 5x + 1 = \frac{1}{16} \] \[ 5x = \frac{1}{16} - 1 \] \[ 5x = -\frac{15}{16} \] \[ x = -\frac{3}{16} \] Проверим: \( 5(-\frac{3}{16}) + 1 = -\frac{15}{16} + 1 = \frac{1}{16} > 0 \), значит, решение подходит. 3. \( \log_7 x = \log_7 10 - 2\log_7 \sqrt{5} \) Используем свойства логарифмов: \( 2\log_7 \sqrt{5} = \log_7 (\sqrt{5})^2 = \log_7 5 \) \[ \log_7 x = \log_7 10 - \log_7 5 \] \[ \log_7 x = \log_7 \frac{10}{5} \] \[ \log_7 x = \log_7 2 \] \[ x = 2 \] Проверим: \( x = 2 > 0 \), значит, решение подходит. 4. \( \log_4(15 - 3x) = 3 \) Представим в экспоненциальной форме: \[ 15 - 3x = 4^3 \] \[ 15 - 3x = 64 \] \[ -3x = 49 \] \[ x = -\frac{49}{3} \] Проверим: \( 15 - 3(-\frac{49}{3}) = 15 + 49 = 64 > 0 \), значит, решение подходит. 5. \( \log_2(x^2 + 6x - 3) - \log_2(x + 3) = 2 \) Используем свойства логарифмов: \[ \log_2 \frac{x^2 + 6x - 3}{x + 3} = 2 \] \[ \frac{x^2 + 6x - 3}{x + 3} = 2^2 \] \[ x^2 + 6x - 3 = 4(x + 3) \] \[ x^2 + 6x - 3 = 4x + 12 \] \[ x^2 + 2x - 15 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \( D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \) \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \] Проверим: Для \( x = 3 \): \( x^2 + 6x - 3 = 9 + 18 - 3 = 24 > 0 \) и \( x + 3 = 6 > 0 \), значит, решение подходит. Для \( x = -5 \): \( x^2 + 6x - 3 = 25 - 30 - 3 = -8 < 0 \), значит, решение не подходит. 6. \( \log_2 x + \log_7 x = 2 \) Это уравнение не решается аналитически в элементарных функциях. Его можно решить численно, но это выходит за рамки школьной программы.

Ответ:

1. x = -1

2. x = -3/16

3. x = 2

4. x = -49/3

5. x = 3

6. численное решение

Ты проделал отличную работу! Решение логарифмических уравнений требует внимательности и знания свойств логарифмов. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!