2) log3 (2-3¯*) < x + 1 - log3 4;

Разбираемся:

1. Шаг 1: Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов.

   Исходное неравенство: \[ \log_3(2 - 3^{-x}) < x + 1 - \log_3 4 \]

   Преобразуем правую часть: \[ x + 1 = \log_3 3^x + \log_3 3 = \log_3 (3^{x+1}) \]

   Тогда неравенство принимает вид: \[ \log_3(2 - 3^{-x}) < \log_3 (3^{x+1}) - \log_3 4 \]

   Используем свойство логарифма разности: \[ \log_3(2 - 3^{-x}) < \log_3 \left(\frac{3^{x+1}}{4}\right) \]

2. Шаг 2: Избавляемся от логарифмов.

   Так как логарифм по основанию 3 является возрастающей функцией, можно избавиться от логарифмов, сохранив знак неравенства: \[ 2 - 3^{-x} < \frac{3^{x+1}}{4} \]

3. Шаг 3: Вводим замену переменной.

   Пусть \[ t = 3^x \], тогда \[ 3^{-x} = \frac{1}{t} \]. Неравенство принимает вид: \[ 2 - \frac{1}{t} < \frac{3t}{4} \]

4. Шаг 4: Решаем неравенство относительно t.

   Умножаем обе части на 4t (при этом t > 0, так как \[ t = 3^x > 0 \]): \[ 8t - 4 < 3t^2 \]

   Приводим к квадратному неравенству: \[ 3t^2 - 8t + 4 > 0 \]

5. Шаг 5: Решаем квадратное неравенство.

   Найдем корни квадратного уравнения \[ 3t^2 - 8t + 4 = 0 \]: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 \]

   \[ t_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2, \quad t_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3} \]

   Тогда неравенство \[ 3t^2 - 8t + 4 > 0 \] выполняется при \[ t < \frac{2}{3} \] или \[ t > 2 \].

6. Шаг 6: Возвращаемся к исходной переменной x.

   Нам нужно решить два неравенства: \[ 3^x < \frac{2}{3} \] и \[ 3^x > 2 \].

   Решаем первое неравенство: \[ 3^x < \frac{2}{3} \]

   Логарифмируем по основанию 3: \[ x < \log_3 \left(\frac{2}{3}\right) = \log_3 2 - 1 \]

   Решаем второе неравенство: \[ 3^x > 2 \]

   Логарифмируем по основанию 3: \[ x > \log_3 2 \]