4. log₄(15 – 3x) = 3 5.log₂(x² + 6x – 3) – log₂(x + 3) = 2 6. log²₂x + log₇ x − 2 = 0 4 вариант 1. log₀.₇(4-7x) = log₀.₇(8x – 11) 2. log₇(4x-11) = 2 3.log₄ x = 3log₄ 3 + ¹/₃log₄ 8 4. log₀.₂(5x - 10) = −2 5.log₂(x - 4) + log₂(2x - 1) = log₂ 9 6. 2log²₂x + 5log₄ x − 3 = 0

4. log₄(15 – 3x) = 3

Логика такая:

• Представим 3 как логарифм по основанию 4: 3 = log₄(4³)=log₄(64)
• Тогда уравнение примет вид: log₄(15 – 3x) = log₄(64)
• Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять аргументы: 15 – 3x = 64
• Решаем полученное линейное уравнение:

\[15 - 3x = 64\] \[-3x = 49\] \[x = -\frac{49}{3}\]

Ответ:

\[x = -\frac{49}{3}\]

5.log₂(x² + 6x – 3) – log₂(x + 3) = 2

Логика такая:

• Используем свойство логарифмов: logₐ(b) – logₐ(c) = logₐ(b/c)
• Применяем свойство к уравнению: log₂((x² + 6x – 3) / (x + 3)) = 2
• Представим 2 как логарифм по основанию 2: 2 = log₂(2²) = log₂(4)
• Уравнение примет вид: log₂((x² + 6x – 3) / (x + 3)) = log₂(4)
• Приравниваем аргументы логарифмов: (x² + 6x – 3) / (x + 3) = 4
• Решаем полученное уравнение:

\[\frac{x^2 + 6x - 3}{x + 3} = 4\] \[x^2 + 6x - 3 = 4(x + 3)\] \[x^2 + 6x - 3 = 4x + 12\] \[x^2 + 2x - 15 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = 2² - 4*1*(-15) = 4 + 60 = 64. Корни:

\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5\]

Проверка корней:

• x = 3: log₂(3² + 6*3 – 3) – log₂(3 + 3) = log₂(9 + 18 – 3) – log₂(6) = log₂(24) – log₂(6) = log₂(24/6) = log₂(4) = 2 (подходит)
• x = -5: log₂((-5)² + 6*(-5) – 3) – log₂((-5) + 3) = log₂(25 - 30 – 3) – log₂(-2) (не подходит, так как аргумент логарифма отрицательный)

Ответ:

\[x = 3\]

6. log²₂x + log₇ x − 2 = 0

Это уравнение не является логарифмическим, так как содержит log₇ x , а все остальные логарифмы по основанию 2. Вероятно, в условии опечатка.

4 вариант

1. log₀.₇(4-7x) = log₀.₇(8x – 11)

Логика такая:

• Так как основания логарифмов одинаковы, можем приравнять аргументы: 4 - 7x = 8x - 11
• Решаем полученное линейное уравнение:

\[4 - 7x = 8x - 11\] \[15 = 15x\] \[x = 1\]

Проверка:

• log₀.₇(4 - 7*1) = log₀.₇(4 - 7) = log₀.₇(-3) (не подходит, так как аргумент логарифма отрицательный)

Ответ:

Решений нет.

2. log₇(4x-11) = 2

Логика такая:

• Представим 2 как логарифм по основанию 7: 2 = log₇(7²) = log₇(49)
• Тогда уравнение примет вид: log₇(4x - 11) = log₇(49)
• Приравниваем аргументы логарифмов: 4x - 11 = 49
• Решаем полученное линейное уравнение:

\[4x - 11 = 49\] \[4x = 60\] \[x = 15\]

Ответ:

\[x = 15\]

3. log₄ x = 3log₄ 3 + ¹/₃log₄ 8

Логика такая:

• Используем свойство логарифмов: alogₐ(b) = logₐ(bᵃ)
• Применяем свойство к уравнению: log₄ x = log₄(3³) + log₄(8^(⅓))
• log₄ x = log₄(27) + log₄(2)
• Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b*c)
• log₄ x = log₄(27*2)
• log₄ x = log₄(54)
• Приравниваем аргументы логарифмов:

\[x = 54\]

Ответ:

\[x = 54\]

4. log₀.₂(5x - 10) = −2

Логика такая:

• Представим -2 как логарифм по основанию 0.2: -2 = log₀.₂(0.2⁻²) = log₀.₂(25)
• Тогда уравнение примет вид: log₀.₂(5x - 10) = log₀.₂(25)
• Приравниваем аргументы логарифмов: 5x - 10 = 25
• Решаем полученное линейное уравнение:

\[5x - 10 = 25\] \[5x = 35\] \[x = 7\]

Ответ:

\[x = 7\]

5.log₂(x - 4) + log₂(2x - 1) = log₂ 9

Логика такая:

• Используем свойство логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b*c)
• Применяем свойство к уравнению: log₂((x - 4)(2x - 1)) = log₂ 9
• Приравниваем аргументы логарифмов: (x - 4)(2x - 1) = 9
• Решаем полученное уравнение:

\[(x - 4)(2x - 1) = 9\] \[2x^2 - x - 8x + 4 = 9\] \[2x^2 - 9x - 5 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = (-9)² - 4*2*(-5) = 81 + 40 = 121. Корни:

\[x_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{4} = \frac{9 + 11}{4} = 5\] \[x_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{4} = \frac{9 - 11}{4} = -\frac{1}{2}\]

Проверка корней:

• x = 5: log₂(5 - 4) + log₂(2*5 - 1) = log₂(1) + log₂(9) = 0 + log₂(9) = log₂(9) (подходит)
• x = -½: log₂(-½ - 4) + log₂(2*(-½) - 1) = log₂(-4.5) + log₂(-2) (не подходит, так как аргументы логарифмов отрицательные)

Ответ:

\[x = 5\]

6. 2log²₂x + 5log₄ x − 3 = 0

Логика такая:

• Заменим основание логарифма: log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = log₂ x / 2
• Уравнение примет вид: 2log²₂x + 5(log₂ x / 2) − 3 = 0
• Введем замену: t = log₂ x
• Получим квадратное уравнение: 2t² + (5/2)t - 3 = 0
• Умножим обе части уравнения на 2: 4t² + 5t - 6 = 0
• Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = 5² - 4*4*(-6) = 25 + 96 = 121. Корни:

\[t_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{8} = \frac{-5 + 11}{8} = \frac{3}{4}\] \[t_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{8} = \frac{-5 - 11}{8} = -2\]

• Возвращаемся к замене:

\[log_2 x = \frac{3}{4} \Rightarrow x_1 = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{8}\] \[log_2 x = -2 \Rightarrow x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}\]

Ответ:

\[x_1 = \sqrt[4]{8}, \quad x_2 = \frac{1}{4}\]

Ответ: Все уравнения решены выше. Удачи в учёбе!