Линейное неоднородное дифференциальное уравнение y"-4y' = 10 имеет частное решение с неопределенными коэффициентами вида ...

Решение:

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида \( y'' + py' + qy = f(x) \), где \( f(x) \) — многочлен, частное решение ищется в виде многочлена той же степени, что и \( f(x) \), с неопределенными коэффициентами. В данном уравнении \( y'' - 4y' = 10 \), \( f(x) = 10 \) — многочлен нулевой степени (константа).

Поскольку \( y' \) и \( y'' \) входят в уравнение, и \( f(x) \) — константа, частное решение следует искать в виде \( y = Ax \).

Проверим этот вид решения:

1. Найдём первую производную: \( y' = A \).
2. Найдём вторую производную: \( y'' = 0 \).
3. Подставим в уравнение: \( 0 - 4(A) = 10 \) \( -4A = 10 \) \( A = -10/4 = -2.5 \).

Таким образом, частное решение имеет вид \( y = -2.5x \).

Среди предложенных вариантов, вид частного решения, содержащий \( x \) (а не константу или \( x \) в более высокой степени), соответствует \( y = Ax \).

Ответ: y = Ax