Linda offered ... (look after) my cat while I was out of town.

Ответ (EN)

Linda offered to look after my cat while I was out of town.

Перевод (RU)

Линда предложила присмотреть за моей кошкой, пока я был в отъезде.

В данном случае необходимо использовать инфинитив to look after после глагола offer, чтобы правильно выразить предложение.

Дополнительный профит: Глагол offer часто используется с инфинитивом (to + глагол) для выражения предложения или готовности что-то сделать. Это распространенная конструкция в английском языке.