lim x->0 sin^2 2x ------- x

Question

Вопрос:

lim x->0 sin^2 2x ------- x

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай решим этот предел вместе.

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x}\)

Сначала преобразуем выражение, используя известные пределы и тригонометрические тождества.

Нам потребуется знать, что \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\).

Давай разберем по порядку:

Преобразуем числитель:

\(\sin^2(2x) = (\sin(2x))^2\)

Домножим и разделим на \(4x^2\), чтобы использовать известный предел:

\((\sin(2x))^2 = \frac{(\sin(2x))^2}{4x^2} \cdot 4x^2 = \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2 \cdot 4x^2\)

Теперь подставим это в исходный предел:

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2 \cdot 4x^2}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^2 \cdot 4x\)

Поскольку \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1\), предел упрощается до:

\(\lim_{x \to 0} (1)^2 \cdot 4x = \lim_{x \to 0} 4x\)

Теперь найдем предел:

\(\lim_{x \to 0} 4x = 4 \cdot 0 = 0\)

Таким образом, предел равен 0.

Ответ: 0

Отлично! Теперь ты знаешь, как решать подобные пределы. У тебя все получится!