56 25 32 6) lim tgx - sin x x→0 x³

Предварительный анализ

Это задание по математическому анализу, а именно вычисление предела функции. Скорее всего, потребуется применение правила Лопиталя или разложение функций в ряд Тейлора для упрощения выражения.

Решение

Давай решим данный предел, используя правило Лопиталя, так как при прямой подстановке мы получаем неопределенность вида 0/0.

Исходный предел:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \]

Применяем правило Лопиталя:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(\tan x - \sin x)'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{3x^2} \]

Снова получаем неопределенность вида 0/0, поэтому применяем правило Лопиталя еще раз:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(\sec^2 x - \cos x)'}{(3x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x + \sin x}{6x} \]

Опять неопределенность вида 0/0, применяем правило Лопиталя в третий раз:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{(2\sec^2 x \tan x + \sin x)'}{(6x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{2(2\sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x) + \cos x}{6} \]

Теперь мы можем подставить x = 0:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2(2\sec^2 x \tan^2 x + \sec^4 x) + \cos x}{6} = \frac{2(0 + 1) + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Таким образом,

Ответ: 1/2

Отлично! Ты справился с вычислением этого предела. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!