lim (2x + 3)^(4x-2)/(x+1) x→-1

Для решения данного предела необходимо воспользоваться правилом Лопиталя, поскольку при непосредственной подстановке x = -1 получается неопределенность вида 1^∞.

Преобразуем функцию, взяв натуральный логарифм от обеих частей:

$$y = (2x + 3)^{\frac{4x-2}{x+1}}$$ $$\ln y = \frac{4x-2}{x+1} \ln(2x + 3)$$ $$\lim_{x \to -1} \ln y = \lim_{x \to -1} \frac{(4x-2) \ln(2x + 3)}{x+1}$$

При x → -1 получаем неопределенность вида 0/0, поэтому можно применить правило Лопиталя:

$$\lim_{x \to -1} \frac{\frac{d}{dx}[(4x-2) \ln(2x + 3)]}{\frac{d}{dx}[x+1]}$$

Найдем производные:

$$\frac{d}{dx}[(4x-2) \ln(2x + 3)] = 4 \ln(2x + 3) + (4x-2) \cdot \frac{2}{2x + 3} = 4 \ln(2x + 3) + \frac{8x-4}{2x + 3}$$ $$\frac{d}{dx}[x+1] = 1$$

Тогда:

$$\lim_{x \to -1} \frac{4 \ln(2x + 3) + \frac{8x-4}{2x + 3}}{1} = 4 \ln(2(-1) + 3) + \frac{8(-1)-4}{2(-1) + 3} = 4 \ln(1) + \frac{-12}{1} = 0 - 12 = -12$$

Итак,

$$\lim_{x \to -1} \ln y = -12$$ $$\ln ( \lim_{x \to -1} y) = -12$$

Чтобы найти предел y, нужно взять экспоненту от обеих частей:

$$\lim_{x \to -1} y = e^{-12}$$

Ответ: $$e^{-12}$$