1) lim 3x²+x-4 a) x= -1; 6) x=1; 8) xo=00. 2) lim x cos 7x 0 sin 2x

1) Предел функции \[\frac{3x^2 + x - 4}{4x - x^2 - 3}\] при различных значениях x₀

• a) x₀ = -1:
Показать решение

Подставляем x = -1 в функцию: \[\frac{3(-1)^2 + (-1) - 4}{4(-1) - (-1)^2 - 3} = \frac{3 - 1 - 4}{-4 - 1 - 3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}\]

• б) x₀ = 1:
Показать решение

Подставляем x = 1 в функцию: \[\frac{3(1)^2 + (1) - 4}{4(1) - (1)^2 - 3} = \frac{3 + 1 - 4}{4 - 1 - 3} = \frac{0}{0}\]

Получается неопределенность вида 0/0, необходимо преобразовать выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

\[3x^2 + x - 4 = (x - 1)(3x + 4)\]

\[4x - x^2 - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)\]

Тогда выражение примет вид: \[\frac{(x - 1)(3x + 4)}{-(x - 1)(x - 3)} = \frac{3x + 4}{-(x - 3)}\]

Подставляем x = 1 в преобразованную функцию: \[\frac{3(1) + 4}{-(1 - 3)} = \frac{7}{2}\]

• в) x₀ = ∞:
Показать решение

Для вычисления предела при x → ∞, делим числитель и знаменатель на x²:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x - 4}{4x - x^2 - 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{4}{x^2}}{\frac{4}{x} - 1 - \frac{3}{x^2}} = \frac{3 + 0 - 0}{0 - 1 - 0} = -3\]

2) Предел функции \[\frac{4x \cos(7x)}{\sin(2x)}\] при x → 0