2/3 Личибра y=-10²+2х (построить график, написать св-ва)

Привет! Давай помогу тебе с этой задачкой по алгебре.

Задача:

Построить график функции y = -x² + 2x и описать её свойства.

Решение:

1. Общий вид функции:

y = -x² + 2x - это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

2. Находим координаты вершины параболы:

Координата x вершины параболы (\(x_v\)) вычисляется по формуле:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]

В нашем случае a = -1, b = 2. Подставляем значения:

\[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]

Теперь найдем координату y вершины параболы (\(y_v\)), подставив найденное значение x в уравнение функции:

\[ y_v = -(1)^2 + 2 \cdot 1 = -1 + 2 = 1 \]

Итак, вершина параболы находится в точке (1, 1).

3. Находим точки пересечения с осью x:

Чтобы найти точки пересечения с осью x, нужно решить уравнение -x² + 2x = 0:

\[ -x^2 + 2x = 0 \] \[ x(-x + 2) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

\[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 2 \]

Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (0, 0) и (2, 0).

4. Ось симметрии параболы:

Ось симметрии проходит через вершину параболы, поэтому уравнение оси симметрии: x = 1.

5. Строим график:

6. Свойства функции:

• Область определения: Все действительные числа (x ∈ ℝ).
• Область значений: y ≤ 1.
• Возрастание: Функция возрастает на интервале (-∞, 1].
• Убывание: Функция убывает на интервале [1, +∞).
• Нули функции: x = 0 и x = 2.
• Максимум функции: y = 1 при x = 1.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: График построен, свойства функции описаны.

Молодец, у тебя все получится! Если тебе понадобится еще какая-нибудь помощь, обращайся!