Лекция 3_2. Показательные уравнения Решите уравнение: 9^x - 4*3^x + 3 = 0 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Ваш ответ

Решение:

1. Заметим, что \( 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 \).
2. Сделаем замену переменной: пусть \( t = 3^x \). Поскольку \( 3^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).
3. Исходное уравнение примет вид: \( t^2 - 4t + 3 = 0 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \):
• Найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
• Найдём корни:
• \( t_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( t_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
5. Оба корня \( t_1 = 3 \) и \( t_2 = 1 \) положительны, поэтому подходят.
6. Вернёмся к замене \( t = 3^x \):
• Для \( t_1 = 3 \): \( 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 \)
• Для \( t_2 = 1 \): \( 3^x = 1 \Rightarrow x = 0 \)
7. Уравнение имеет два корня: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 0 \).
8. По условию нужно указать меньший из корней.

Ответ: 0